5、单选极限lim_(xto+infty)sin([x]pi+(pi)/(x))=（）.(2.5分)A. πB. 0C. 不存在D. 1

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及取整函数与三角函数的复合函数极限。关键在于理解取整函数$[x]$的性质，以及利用三角函数的恒等变形和极限性质进行化简。

解题核心思路：

1. 拆分角度：将$\sin([x]\pi + \frac{\pi}{x})$拆分为$\sin([x]\pi)\cos(\frac{\pi}{x}) + \cos([x]\pi)\sin(\frac{\pi}{x})$。
2. 分析各部分极限：
   • $\sin([x]\pi)$因$[x]$为整数，结果恒为$0$。
   • $\cos([x]\pi)$为$(-1)^{[x]}$，但乘以$\sin(\frac{\pi}{x})$后整体趋近于$0$。
3. 综合结论：利用夹逼定理判断极限存在且为$0$。

步骤1：拆分三角函数

利用正弦加法公式：
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
将原式展开：
$\sin([x]\pi + \frac{\pi}{x}) = \sin([x]\pi)\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) + \cos([x]\pi)\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$

步骤2：分析第一项

当$x \to +\infty$时，$[x]$为整数，故$\sin([x]\pi) = 0$，因此：
$\sin([x]\pi)\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) = 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$

步骤3：分析第二项

$\cos([x]\pi) = (-1)^{[x]}$，而$\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \approx \frac{\pi}{x}$（当$x$很大时）。因此：
$\cos([x]\pi)\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) = (-1)^{[x]} \cdot \frac{\pi}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
无论$(-1)^{[x]}$如何震荡，其绝对值不超过$\frac{\pi}{x}$，而$\frac{\pi}{x} \to 0$，故第二项极限为$0$。

步骤4：综合结果

两部分相加：
$\lim_{x \to +\infty} \sin([x]\pi + \frac{\pi}{x}) = 0 + 0 = 0$