洛必达法则可以在同一题中重复使用A. 对B. 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
解析
本题考查洛必达法则的使用规则相关知识点。解题思路是明确洛必达法则的定义和使用条件,然后根据这些来判断是否可以在同一题中重复使用。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。其使用条件为:当函数满足$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的未定式,且在某点的去心邻域内,分子分母都可导,分母的导数不为零,并且$\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在(或为无穷大)时,才有$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在使用洛必达法则求极限的过程中,如果第一次使用后得到的极限仍然是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的未定式,并且满足洛必达法则的其他条件,那么就可以再次使用洛必达法则,也就是可以在同一题中重复使用。例如求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$,这是$\frac{0}{0}$型未定式,第一次使用洛必达法则:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sin x - x)'}{(x^3)'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$
此时得到的极限还是$\frac{0}{0}$型未定式,且满足洛必达法则的其他条件,所以可以再次使用洛必达法则:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)'}{(3x^2)'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$
依然是$\frac{0}{0}$型未定式,继续使用洛必达法则:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(-\sin x)'}{(6x)'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}$
所以洛必达法则可以在同一题中重复使用。