证明不等式：ln(1+e^x)-x＞(1)/(e^x)+1，xin (-infty ,+infty ).

证明：令$t=e^{x}+1$，则$t \gt 1$，
所以$x=\ln \left(t-1\right)$，
要证$ln(1+e^{x})-x＞\frac{1}{e^{x}+1}$，只需证$\ln t-\ln \left(t-1\right) \gt \frac{1}{t}$，
只需证$\ln \frac{t}{t-1} \gt \frac{1}{t}$，
只需证$\ln \frac{1}{1-\frac{1}{t}} \gt \frac{1}{t}$，
令$m=\frac{1}{t}$，则$0 \lt m \lt 1$，
只需证$\ln \frac{1}{1-m} \gt m$，
只需证$-\ln \left(1-m\right) \gt m$，
只需证$m+\ln \left(1-m\right) \lt 0$，
设$g\left(m\right)=m+\ln \left(1-m\right)$，$0 \lt m \lt 1$，
则${g'}\left(m\right)=1-\frac{1}{1-m}=1+\frac{1}{m-1}=\frac{m}{m-1} \lt 0$，
所以$g\left(m\right)$在$\left(0,1\right)$上单调递减，
所以$g\left(m\right) \lt g\left(0\right)=0$，
即$m+\ln \left(1-m\right) \lt 0$得证.