【例14】已知y=y(x)是由方程xy=sin x+ln y所确定的隐函数，则(dy)/(dx)mid_(x=0)=A. (1)/(2)B. -(1)/(2)C. 2D. 0

考查要点：本题主要考查隐函数求导法则的应用，以及代入特定点求值的能力。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，使用链式法则；
2. 整理表达式：将含有$\frac{dy}{dx}$的项集中，解出$\frac{dy}{dx}$的表达式；
3. 代入特定点：先通过原方程求出$x=0$时对应的$y$值，再代入导数表达式计算。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则和链式法则，避免漏项或符号错误；
• 代入$x=0$时，需先确定对应的$y$值，此时原方程简化为$0 \cdot y = \sin 0 + \ln y$，解得$y=1$；
• 注意分母是否为零，本题中代入后分母为$-1$，结果有意义。

对原方程$xy = \sin x + \ln y$两边同时关于$x$求导：

1. 左边求导：
   $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y \quad (\text{乘积法则})$

2. 右边求导：
   $\frac{d}{dx}(\sin x + \ln y) = \cos x + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \quad (\text{链式法则})$

3. 整理方程：
   将含$\frac{dy}{dx}$的项移到左边：
   $x \frac{dy}{dx} + y = \cos x + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$
   $x \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x - y$
   提取$\frac{dy}{dx}$：
   $\frac{dy}{dx} \left( x - \frac{1}{y} \right) = \cos x - y$
   解得：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - y}{x - \frac{1}{y}}$

4. 代入$x=0$：

   • 由原方程$xy = \sin x + \ln y$，当$x=0$时：
     $0 \cdot y = \sin 0 + \ln y \implies \ln y = 0 \implies y = 1$
   • 将$x=0$和$y=1$代入导数表达式：
     $\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = \frac{\cos 0 - 1}{0 - \frac{1}{1}} = \frac{1 - 1}{-1} = 0$