题目
(1)若级数 sum _(n=1)^infty |(a)_(n)| 收敛,则 () ;-|||-A. 级数 sum _(n=1)^infty ((a)_(n)+(a)_(n+1)) 收敛 B. 级数 sum _(n=1)^infty (a)_(2n) 收敛-|||-C. 级数 sum _(n=1)^infty (a)_(n)(a)_(n+1) 收敛 D. 级数 sum _(n=1)^infty ((-1))^n(a)_(n) 收敛
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 收敛的含义
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 收敛意味着级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 绝对收敛，即级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 收敛且其各项的绝对值之和也收敛。
步骤 2：分析选项 A
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{a}_{n+1})$ 可以看作是级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n+1}$ 的和。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n+1}$ 也是收敛的（只是从第二项开始），因此 $\sum _{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{a}_{n+1})$ 收敛。
步骤 3：分析选项 B
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 是从原级数中取出偶数项构成的子级数。由于原级数绝对收敛，其任意子级数也收敛，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 收敛。
步骤 4：分析选项 C
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{a}_{n+1}$ 的收敛性不能直接从 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 收敛得出，因为乘积项的绝对值之和不一定收敛。因此，不能确定 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{a}_{n+1}$ 是否收敛。
步骤 5：分析选项 D
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$ 是原级数的交错级数。由于原级数绝对收敛，交错级数也收敛。因此，$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$ 收敛。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 收敛意味着级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 绝对收敛，即级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 收敛且其各项的绝对值之和也收敛。
步骤 2：分析选项 A
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{a}_{n+1})$ 可以看作是级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n+1}$ 的和。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n+1}$ 也是收敛的（只是从第二项开始），因此 $\sum _{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{a}_{n+1})$ 收敛。
步骤 3：分析选项 B
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 是从原级数中取出偶数项构成的子级数。由于原级数绝对收敛，其任意子级数也收敛，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 收敛。
步骤 4：分析选项 C
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{a}_{n+1}$ 的收敛性不能直接从 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 收敛得出，因为乘积项的绝对值之和不一定收敛。因此，不能确定 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{a}_{n+1}$ 是否收敛。
步骤 5：分析选项 D
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$ 是原级数的交错级数。由于原级数绝对收敛，交错级数也收敛。因此，$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$ 收敛。