[例1.20]设f`(x)连续, (0)=0, '(0)neq 0, 求 lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^(x^2)f((x)^2-t)dt}({x)^3(int )_(0)^1f(xt)dt}

步骤 1：变量替换
令 ${x}^{2}-t=u$，则 $dt=-du$。同时，令 $xt=u$，则 $dt=\dfrac {1}{x}du$。通过变量替换，我们可以将积分中的变量从被积函数中分离出来。

步骤 2：积分变换
将变量替换应用到积分中，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{{x}^{2}}f({x}^{2}-t)dt}{{x}^{3}{\int }_{0}^{1}f(xt)dt} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{{x}^{2}}f(u)du}{{x}^{3}{\int }_{0}^{1}f(u)du}
$$

步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $x\rightarrow 0$ 时都趋于0，我们可以应用洛必达法则。首先，计算分子和分母的导数：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{{x}^{2}}f(u)du}{{x}^{3}{\int }_{0}^{1}f(u)du} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2xf({x}^{2})}{3x^{2}{\int }_{0}^{1}f(u)du}
$$

步骤 4：简化表达式
进一步简化表达式，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2xf({x}^{2})}{3x^{2}{\int }_{0}^{1}f(u)du} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f({x}^{2})}{3x{\int }_{0}^{1}f(u)du}
$$

步骤 5：应用导数定义
由于 $f'(0)\neq 0$，我们可以应用导数定义，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f({x}^{2})}{3x{\int }_{0}^{1}f(u)du} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f'(0)}{3{\int }_{0}^{1}f(u)du}
$$

步骤 6：计算最终结果
由于 $f(0)=0$，我们可以计算出：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2f'(0)}{3{\int }_{0}^{1}f(u)du} = \dfrac {2f'(0)}{3{\int }_{0}^{1}f(u)du}
$$