1.（单选题，4.0分）设随机变量X~U(0,1)，Y~Exp(2)，且X与Y相互独立，则Z=X+Y的概率密度为（）.A f(z)=}0, & zleq0,1-e^-2z, & 0<2,e^-2(z-1)-e^-2z, & zgeq2B f(z)=}0, & z<0,1)/(2)(1-e^-2z), & 0leq z<1,1)/(2)(e^-2z-e^-2(z-1)), & zgeq2C f(z)=}0, & z<0,2(1-e^-2z), & 0leq z<2,2(e^-2(z-1)-e^-2z), & zgeq2D f(z)=}0, & zleq0,1)/(2)(1-e^-2z), & 0<1,e^-2(z-1)-e^-2z, & zgeq1

为了找到随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度函数，其中 $X \sim U(0,1)$ 和 $Y \sim \text{Exp}(2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，我们需要使用卷积公式。两个独立随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的概率密度函数 $f_Z(z)$ 由它们各自概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的卷积给出： \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. \] 首先，我们写出 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数： \[ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他情况}, \end{cases} \] \[ f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y \geq 0, \\ 0, & y < 0. \end{cases} \] 现在，我们需要计算卷积积分： \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. \] 由于 $f_X(x)$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 之外为零，积分简化为： \[ f_Z(z) = \int_{0}^{1} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx = \int_{0}^{1} f_Y(z-x) \, dx. \] 我们需要根据 $z$ 的值考虑 $f_Y(z-x)$ 的两种情况： 1. $z < 0$：对于所有 $0 \leq x \leq 1$，有 $z-x < 0$，因此 $f_Y(z-x) = 0$。因此，$f_Z(z) = 0$。 2. $z \geq 0$：对于 $0 \leq x \leq \min(1, z)$，有 $f_Y(z-x) = 2e^{-2(z-x)}$。对于 $x > z$，有 $f_Y(z-x) = 0$。因此，积分变为： \[ f_Z(z) = \int_{0}^{\min(1, z)} 2e^{-2(z-x)} \, dx. \] 我们将其分为两种子情况： - $0 \leq z < 1$：$\min(1, z) = z$，因此 \[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2e^{-2(z-x)} \, dx = 2e^{-2z} \int_{0}^{z} e^{2x} \, dx = 2e^{-2z} \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{z} = e^{-2z} (e^{2z} - 1) = 1 - e^{-2z}. \] - $z \geq 1$：$\min(1, z) = 1$，因此 \[ f_Z(z) = \int_{0}^{1} 2e^{-2(z-x)} \, dx = 2e^{-2z} \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = 2e^{-2z} \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} = e^{-2z} (e^2 - 1) = e^{-2(z-1)} - e^{-2z}. \] 将所有情况合并，我们得到 $Z$ 的概率密度函数： \[ f_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ 1 - e^{-2z}, & 0 \leq z < 1, \\ e^{-2(z-1)} - e^{-2z}, & z \geq 1. \end{cases} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{D} \]