某窗的形状由半圆置于矩形上面形成的，若窗框的所用材料长为l，试确定半圆的半径x及矩形的高y，使所通过的光线最为充足。

考查要点：本题主要考查利用导数解决实际优化问题的能力，涉及几何模型的建立与函数最值的求解。

解题核心思路：

1. 明确目标：透光面积最大，即求窗户总面积的最大值。
2. 建立约束条件：窗框材料总长固定为$l$，需用$x$和$y$表示总长度。
3. 消元与函数构建：通过约束条件消去变量$y$，将面积表示为$x$的函数，再利用导数求极值。

破题关键点：

• 正确分析结构：半圆直径为矩形宽度$2x$，总材料包含矩形左右两侧、底部及半圆弧长。
• 面积表达式：总面积为半圆面积与矩形面积之和。
• 二次函数极值：通过二次函数顶点公式直接求解最大值，避免复杂求导过程。

1. 建立约束条件与面积表达式

总材料长度$l$：

• 矩形左右两侧高$y$，总长$2y$；
• 矩形底部宽$2x$；
• 半圆弧长$\pi x$。
  因此，总材料长为：
  $l = 2y + 2x + \pi x = 2y + x(2 + \pi)$

总面积$A$：

• 半圆面积：$\frac{1}{2} \pi x^2$；
• 矩形面积：$2x \cdot y$。
  总面积为：
  $A = \frac{1}{2} \pi x^2 + 2xy$

2. 消元与函数构建

从约束条件解出$y$：
$y = \frac{l - x(2 + \pi)}{2}$

代入面积表达式：
$\begin{aligned}A(x) &= \frac{1}{2} \pi x^2 + 2x \cdot \frac{l - x(2 + \pi)}{2} \\&= \frac{\pi}{2} x^2 + x(l - x(2 + \pi)) \\&= \left( \frac{\pi}{2} - 2 - \pi \right) x^2 + l x \\&= -\left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) x^2 + l x\end{aligned}$

3. 求最大值

面积函数为开口向下的二次函数，最大值出现在顶点处：
$x = -\frac{b}{2a} = \frac{l}{2 \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right)} = \frac{l}{\pi + 4}$

代入$y$的表达式：
$y = \frac{l - \frac{l}{\pi + 4} \cdot (\pi + 2)}{2} = \frac{l}{\pi + 4}$

结论：当$x = y = \frac{l}{\pi + 4}$时，透光面积最大。