已知 L 为内摆线 x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 (a > 0) 的弧，计算 int_(L) (x^4/3 + y^4/3), ds = ( ) A. 4a^7/3B. a^7/3C. 3a^7/3D. 4a

为了计算内摆线 $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ 的弧 $L$ 上的积分 $\int_{L} (x^{4/3} + y^{4/3}) \, ds$，我们首先需要将内摆线参数化。内摆线可以使用参数 $t$ 表示为： \[ x = a \cos^3 t, \quad y = a \sin^3 t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi. \] 接下来，我们需要找到弧长元素 $ds$。弧长元素 $ds$ 由下式给出： \[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt. \] 首先，我们计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$： \[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (a \cos^3 t) = -3a \cos^2 t \sin t, \] \[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (a \sin^3 t) = 3a \sin^2 t \cos t. \] 现在，我们将这些代入 $ds$ 的公式中： \[ ds = \sqrt{(-3a \cos^2 t \sin t)^2 + (3a \sin^2 t \cos t)^2} \, dt = \sqrt{9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t} \, dt = \sqrt{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t)} \, dt = \sqrt{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t} \, dt = 3a |\cos t \sin t| \, dt. \] 由于 $\cos t \sin t$ 在 $0 \leq t \leq \pi/2$，$\pi \leq t \leq 3\pi/2$ 时为正，在 $\pi/2 \leq t \leq \pi$，$3\pi/2 \leq t \leq 2\pi$ 时为负，我们可以写： \[ ds = 3a |\cos t \sin t| \, dt = \frac{3a}{2} |\sin 2t| \, dt. \] 现在，我们需要计算积分 $\int_{L} (x^{4/3} + y^{4/3}) \, ds$。使用参数化，我们有： \[ x^{4/3} = (a \cos^3 t)^{4/3} = a^{4/3} \cos^4 t, \] \[ y^{4/3} = (a \sin^3 t)^{4/3} = a^{4/3} \sin^4 t, \] \[ x^{4/3} + y^{4/3} = a^{4/3} (\cos^4 t + \sin^4 t). \] 因此，积分变为： \[ \int_{L} (x^{4/3} + y^{4/3}) \, ds = \int_{0}^{2\pi} a^{4/3} (\cos^4 t + \sin^4 t) \cdot \frac{3a}{2} |\sin 2t| \, dt = \frac{3a^{7/3}}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos^4 t + \sin^4 t) |\sin 2t| \, dt. \] 由于被积函数 $(\cos^4 t + \sin^4 t) |\sin 2t|$ 的周期为 $\pi/2$，我们可以将积分重写为： \[ \int_{0}^{2\pi} (\cos^4 t + \sin^4 t) |\sin 2t| \, dt = 4 \int_{0}^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \sin 2t \, dt. \] 现在，我们计算积分 $\int_{0}^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \sin 2t \, dt$。使用恒等式 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，我们有： \[ \int_{0}^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \sin 2t \, dt = 2 \int_{0}^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \sin t \cos t \, dt. \] 设 $u = \cos^2 t$，则 $du = -2 \cos t \sin t \, dt$，积分的上下限从 $t = 0$ 到 $t = \pi/2$ 变为 $u = 1$ 到 $u = 0$。积分变为： \[ 2 \int_{0}^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \sin t \cos t \, dt = 2 \int_{1}^{0} \left( u^2 + (1 - u)^2 \right) \left( -\frac{1}{2} \right) \, du = \int_{0}^{1} \left( u^2 + 1 - 2u + u^2 \right) \, du = \int_{0}^{1} \left( 2u^2 - 2u + 1 \right) \, du. \] 计算这个积分，我们得到： \[ \int_{0}^{1} \left( 2u^2 - 2u + 1 \right) \, du = \left[ \frac{2u^3}{3} - u^2 + u \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} - 1 + 1 \right) - (0) = \frac{2}{3}. \] 因此，原始积分是： \[ \frac{3a^{7/3}}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{3} = 4a^{7/3}. \] 答案是： \[ \boxed{A}. \]