题目
设随机变量X服从（0，10）上的均匀分布，现对X进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大于5的概率。
设随机变量X服从（0，10）上的均匀分布，现对X进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大于5的概率。
题目解答
答案
设随机变量
是4次独立观测中观测大于5的次数，则
其中
。由
知X密度函数为
，所以
，进而有
。
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量$Y$为4次独立观测中观测值大于5的次数，则$Y$服从二项分布$B(4,p)$，其中$p=P(X>5)$。
步骤 2：计算$p$
由$X\sim U(0,10)$知$X$的密度函数为$f(x)=\dfrac{1}{10}$，$05)=\int_{5}^{10}\dfrac{1}{10}dx=\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：计算$P(Y\geqslant 3)$
根据二项分布的性质，$P(Y\geqslant 3)=P(Y=3)+P(Y=4)$。利用二项分布的概率公式，$P(Y=k)={C}_{4}^{k}p^{k}(1-p)^{4-k}$，代入$p=\dfrac{1}{2}$，计算$P(Y=3)$和$P(Y=4)$。
设随机变量$Y$为4次独立观测中观测值大于5的次数，则$Y$服从二项分布$B(4,p)$，其中$p=P(X>5)$。
步骤 2：计算$p$
由$X\sim U(0,10)$知$X$的密度函数为$f(x)=\dfrac{1}{10}$，$0
步骤 3：计算$P(Y\geqslant 3)$
根据二项分布的性质，$P(Y\geqslant 3)=P(Y=3)+P(Y=4)$。利用二项分布的概率公式，$P(Y=k)={C}_{4}^{k}p^{k}(1-p)^{4-k}$，代入$p=\dfrac{1}{2}$，计算$P(Y=3)$和$P(Y=4)$。