3、已知直线L通过原点，且在过三点P_(0)(0,0,0) overline(P_{1)(2,2,0)} overline(P_{2)(0,1,-2)}的 平面上，且与直线L_(1):(x+1)/(3)=(y-1)/(2)=(2z)/(1)垂直，求直线L的方程____.A. (x-2)/(0)=(y+3)/(0)=(z-4)/(1)B. (x)/(0)=(y)/(1)=(z)/(-2)C. (x)/(1)=(y)/(2)=(z)/(3)D. (x)/(1)=(y)/(2)=(z+1)/(-3)

本题考查直线方程的求解，关键在于利用平面方程、直线垂直的条件来确定直线$L$的方向向量，再结合直线过原点得出直线方程。

1. 求过三点$P_{0}(0,0,0)$，$P_{1}(2,2,0)$，$P_{2}(0,1,-2)$的平面方程：
   • 首先求平面的法向量$\overrightarrow{n}$，已知$\overrightarrow{P_{0}P_{1}}=(2 - 0, 2 - 0, 0 - 0)=(2,2,0)$，$\overrightarrow{P_{0}P_{2}}=(0 - 0, 1 - 0, -2 - 0)=(0,1,-2)$。
   • 根据向量叉乘公式$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}=\overrightarrow{i}(y_1z_2 - y_2z_1)-\overrightarrow{j}(x_1z_2 - x_2z_1)+\overrightarrow{k}(x_1y_2 - x_2y_1)\)，可得平面的法向量\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times\overrightarrow{P_{0}P_{2}}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & 2 & 0\\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)。
   • 计算行列式：
     $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{i}(2\times(-2)-1\times0)-\overrightarrow{j}(2\times(-2)-0\times0)+\overrightarrow{k}(2\times1 - 0\times2)= - 4\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=(-4,4,2)$。
   • 因为平面过原点$(0,0,0)$，根据平面的点法式方程$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点，$(A,B,C)$为平面的法向量），可得平面方程为$-4(x - 0)+4(y - 0)+2(z - 0)=0$，化简得$-4x + 4y + 2z = 0$，即$2x - 2y - z = 0$。
2. 求直线$L_{1}$的方向向量$\overrightarrow{s_{1}}$：
   已知直线$L_{1}$的方程为$\frac{x + 1}{3}=\frac{y - 1}{2}=\frac{2z}{1}$，可化为$\frac{x + 1}{3}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z}{\frac{1}{2}}$，所以直线$L_{1}$的方向向量$\overrightarrow{s_{1}}=(3,2,\frac{1}{2})$。
3. 求直线$L$的方向向量$\overrightarrow{s}$：
   因为直线$L$在平面$2x - 2y - z = 0$上，所以直线$L$的方向向量$\overrightarrow{s}$与平面的法向量$\overrightarrow{n}=(-4,4,2)$垂直；又因为直线$L$与直线$L_{1}$垂直，所以直线$L$的方向向量$\overrightarrow{s}$与直线$L_{1}$的方向向量$\overrightarrow{s_{1}}=(3,2,\frac{1}{2})$垂直。
   • 根据向量叉乘的性质，若两个向量垂直，则它们的叉乘结果为零向量，所以\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{s_{1}}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ -4 & 4 & 2\\ 3 & 2 & \frac{1}{2} \end{vmatrix}\)。
   • 计算行列式：
     $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{i}(4\times\frac{1}{2}-2\times2)-\overrightarrow{j}((-4)\times\frac{1}{2}-3\times2)+\overrightarrow{k}((-4)\times2 - 3\times4)$
     $=\overrightarrow{i}(2 - 4)-\overrightarrow{j}(-2 - 6)+\overrightarrow{k}(-8 - 12)$
     $=-2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}-20\overrightarrow{k}=(-2,8,-20)$。
   • 为了简化计算，可将方向向量$\overrightarrow{s}$化为$(0,1,-2)$（因为方向向量的非零倍数仍为方向向量，$(-2,8,-20)$与$(0,1,-2)$平行）。
4. 求直线$L$的方程：
   因为直线$L$过原点$(0,0,0)$，且方向向量为$(0,1,-2)$，根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得直线$L$的方程为$\frac{x - 0}{0}=\frac{y - 0}{1}=\frac{z - 0}{-2}$，即$\frac{x}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$。