题目
2. (6.0分) 设 z=u^2v,u=sin(xy),v=x^2+y^2,求偏导数(partial z)/(partial x).
2. (6.0分) 设 $z=u^{2}v,u=\sin(xy),v=x^{2}+y^{2}$,求偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}.$
题目解答
答案
为了求解偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们需要使用链式法则。链式法则指出，如果 $z$ 是 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u$ 和 $v$ 又是 $x$ 和 $y$ 的函数，那么 $z$ 对 $x$ 的偏导数可以表示为：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}
\]
首先，我们分别求出 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数。已知 $z = u^2 v$，所以：
\[
\frac{\partial z}{\partial u} = 2uv
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial v} = u^2
\]
接下来，我们分别求出 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 的偏导数。已知 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$，所以：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = y \cos(xy)
\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = 2x
\]
现在，我们将这些偏导数代入链式法则的公式中：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = (2uv) (y \cos(xy)) + (u^2) (2x)
\]
将 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$ 代入上式，得到：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(xy) (x^2 + y^2) y \cos(xy) + (\sin(xy))^2 2x
\]
我们可以进一步简化这个表达式：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) + 2x \sin^2(xy)
\]
使用二倍角恒等式 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$，我们可以将第一项重写为：
\[
2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) = y (x^2 + y^2) \sin(2xy)
\]
因此，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的最终表达式为：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y (x^2 + y^2) \sin(2xy) + 2x \sin^2(xy)
\]
所以，答案是：
\[
\boxed{y (x^2 + y^2) \sin(2xy) + 2x \sin^2(xy)}
\]
解析
步骤 1：求 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的偏导数
已知 $z = u^2 v$，所以：
\[ \frac{\partial z}{\partial u} = 2uv \]
\[ \frac{\partial z}{\partial v} = u^2 \]
步骤 2：求 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 的偏导数
已知 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$，所以：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = y \cos(xy) \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2x \]
步骤 3：应用链式法则求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
根据链式法则，有：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \]
代入步骤 1 和步骤 2 的结果，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = (2uv) (y \cos(xy)) + (u^2) (2x) \]
将 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$ 代入上式，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(xy) (x^2 + y^2) y \cos(xy) + (\sin(xy))^2 2x \]
进一步简化这个表达式：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) + 2x \sin^2(xy) \]
使用二倍角恒等式 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$，我们可以将第一项重写为：
\[ 2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) = y (x^2 + y^2) \sin(2xy) \]
因此，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的最终表达式为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y (x^2 + y^2) \sin(2xy) + 2x \sin^2(xy) \]
已知 $z = u^2 v$，所以：
\[ \frac{\partial z}{\partial u} = 2uv \]
\[ \frac{\partial z}{\partial v} = u^2 \]
步骤 2：求 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 的偏导数
已知 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$，所以：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = y \cos(xy) \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2x \]
步骤 3：应用链式法则求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
根据链式法则，有：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \]
代入步骤 1 和步骤 2 的结果，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = (2uv) (y \cos(xy)) + (u^2) (2x) \]
将 $u = \sin(xy)$ 和 $v = x^2 + y^2$ 代入上式，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(xy) (x^2 + y^2) y \cos(xy) + (\sin(xy))^2 2x \]
进一步简化这个表达式：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) + 2x \sin^2(xy) \]
使用二倍角恒等式 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$，我们可以将第一项重写为：
\[ 2y (x^2 + y^2) \sin(xy) \cos(xy) = y (x^2 + y^2) \sin(2xy) \]
因此，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的最终表达式为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y (x^2 + y^2) \sin(2xy) + 2x \sin^2(xy) \]