题目
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sin x)-3f(1-sin x)=8x+o(x)，且f(x)在x=1处可导，则曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程为(,,,,,)A、x-y-12=0B、2x+y-12=0C、x-2y-12=0D、2x-y-12=0
已知$f\left(x\right)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f\left(1+\sin x\right)-3f\left(1-\sin x\right)=8x+o\left(x\right)$，且$f\left(x\right)$在$x=1$处可导，则曲线$y=f\left(x\right)$在点$\left(6，f\left(6\right)\right)$处的切线方程为$\left(\,\,\,\,\,\right)$
$A、x-y-12=0$
$B、2x+y-12=0$
$C、x-2y-12=0$
$D、2x-y-12=0$
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定$f(1)$的值
由题意，$f\left(1+\sin x\right)-3f\left(1-\sin x\right)=8x+o\left(x\right)$，当$x=0$时，$\sin x=0$，代入得$f(1)-3f(1)=0$，即$-2f(1)=0$，从而$f(1)=0$。
步骤 2：确定$f'(1)$的值
对$f\left(1+\sin x\right)-3f\left(1-\sin x\right)=8x+o\left(x\right)$两边求导，得$f'(1+\sin x)\cos x+3f'(1-\sin x)\cos x=8$。当$x=0$时，$\sin x=0$，代入得$f'(1)+3f'(1)=8$，即$4f'(1)=8$，从而$f'(1)=2$。
步骤 3：确定$f(6)$的值
由于$f(x)$是周期为$5$的连续函数，所以$f(6)=f(1+5)=f(1)=0$。
步骤 4：确定切线方程
由于$f'(1)=2$，所以曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线斜率为$2$。因此，切线方程为$y-f(6)=f'(1)(x-6)$，即$y=2(x-6)$，整理得$2x-y-12=0$。
由题意，$f\left(1+\sin x\right)-3f\left(1-\sin x\right)=8x+o\left(x\right)$，当$x=0$时，$\sin x=0$，代入得$f(1)-3f(1)=0$，即$-2f(1)=0$，从而$f(1)=0$。
步骤 2：确定$f'(1)$的值
对$f\left(1+\sin x\right)-3f\left(1-\sin x\right)=8x+o\left(x\right)$两边求导，得$f'(1+\sin x)\cos x+3f'(1-\sin x)\cos x=8$。当$x=0$时，$\sin x=0$，代入得$f'(1)+3f'(1)=8$，即$4f'(1)=8$，从而$f'(1)=2$。
步骤 3：确定$f(6)$的值
由于$f(x)$是周期为$5$的连续函数，所以$f(6)=f(1+5)=f(1)=0$。
步骤 4：确定切线方程
由于$f'(1)=2$，所以曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线斜率为$2$。因此，切线方程为$y-f(6)=f'(1)(x-6)$，即$y=2(x-6)$，整理得$2x-y-12=0$。