3.一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进,如图所示。木-|||-箱与地面间的摩擦系数 mu =0.6 设此人前进时,肩上绳的支撑点距地-|||-面高度为 =1.5m, 不计箱高,问绳长l为多长时最省力?-|||-l T-|||-M h-|||-square -|||-________ ___
题目解答
答案
解析
本题考查共点力平衡条件及三角函数求极值的应用，关键是通过受力分析建立拉力与绳长的关系，再利用导数或三角函数性质求最小值。
步骤1：受力分析与平衡方程
木箱匀速前进，受力平衡：重力$Mg$、支持力$N$、摩擦力$f=\mu N$、拉力$T$（沿绳方向）。
拉力$T$可分解为水平分力$T\cos\theta$和竖直分力$T\sin\theta$（$\theta$为绳与地面夹角），平衡方程：
$T\cos\theta = \mu N \quad (1)$
$N + T\sin\theta = Mg \quad (2)$
联立得：
$T = \frac{\mu Mg}{\cos\theta + \mu\sin\theta}$
步骤2：绳长与角度的关系
由几何关系，绳长$l$、高度$h$、水平距离$x$满足：$\sin\theta = \frac{h}{l}$，$\cos\theta = \frac{x}{l}$，且$x = \sqrt{l^2 - h^2}$，故：
$\cos\theta + \mu\sin\theta = \frac{\sqrt{l^2 - h^2} + \mu h}{l}$
代入$T$表达式：
$T = \frac{\mu Mg l}{\sqrt{l^2 - h^2} + \mu h}$
步骤3：求$T$的最小值
对$T(l)$求导并令导数为0，或转化为求分母$S(l)=\sqrt{l^2 - h^2} + \mu h$的最大值（因$T$与$S(l)/l$成反比）。
对$S(l)$求导：
$S'(l) = \frac{l}{\sqrt{l^2 - h^2}} - 1 = 0 \implies l = \frac{h}{\sqrt{1 - \mu^2}}$
步骤4：代入数值计算
$h=1.5\,\text{m}$，$\mu=0.6$：
$l = \frac{1.5}{\sqrt{1 - 0.36}} = \frac{1.5}{0.8} = 1.875\,\text{m}\,?$
（注：此处发现原答案矛盾，重新检查发现错误根源：拉力分解方向应为“人拉绳，绳拉箱”，绳与地面夹角$\theta$的正弦应为$h/l$，但求导时应直接对$T(\theta)$求导更简便：）
修正：对$T(\theta)$求导
$T(\theta) = \frac{\mu Mg}{\cos\theta + \mu\sin\theta}$
令$k(\theta)=\cos\theta + \mu\sin\theta$，求$k(\theta)$最大值：
$k'(\theta)=-\sin\theta + \mu\cos\theta=0 \implies \tan\theta=\mu=0.6$
此时$\sin\theta=\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}=\frac{0.6}{\sqrt{1.36}}$，$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}=\frac{1}{\sqrt{1.36}}$，则：
$l = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{1.5\sqrt{1.36}}{0.6} \approx 2.92\,\text{m}$