题目
设双曲线C：((x)^2)/((a)^2)-((y)^2)/((b)^2)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 ____ ．
设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 ____ ．
题目解答
答案
解：由题意知，|F1A|=13，|F2A|=$\frac{1}{2}$|AB|=5，所以|F1A|-|F2A|=2a=8，解得a=4；
又x=c时，y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即|F2A|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=5，
所以b2=5a=20，
所以c2=a2+b2=16+20=36，所以c=6，
所以双曲线C的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．
解析
步骤 1：确定双曲线的焦点和点A、B的位置
双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，其左、右焦点分别为F_1和F_2。过F_2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，即A和B的横坐标为c（c为双曲线的焦距的一半）。
步骤 2：利用双曲线的定义求解a
根据双曲线的定义，对于双曲线上任意一点P，有|PF_1| - |PF_2| = 2a。题目中给出|F_1A|=13，|AB|=10，因此|F_2A|=$\frac{1}{2}$|AB|=5。所以，|F_1A| - |F_2A| = 13 - 5 = 8 = 2a，解得a=4。
步骤 3：利用点A的坐标求解b^2
由于A点在双曲线上，且其横坐标为c，代入双曲线方程可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$。又因为|F_2A|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=5，所以b^{2}=5a=20。
步骤 4：求解离心率e
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$，其中c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+20=36，所以c=6。因此，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$。
双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，其左、右焦点分别为F_1和F_2。过F_2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，即A和B的横坐标为c（c为双曲线的焦距的一半）。
步骤 2：利用双曲线的定义求解a
根据双曲线的定义，对于双曲线上任意一点P，有|PF_1| - |PF_2| = 2a。题目中给出|F_1A|=13，|AB|=10，因此|F_2A|=$\frac{1}{2}$|AB|=5。所以，|F_1A| - |F_2A| = 13 - 5 = 8 = 2a，解得a=4。
步骤 3：利用点A的坐标求解b^2
由于A点在双曲线上，且其横坐标为c，代入双曲线方程可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$。又因为|F_2A|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=5，所以b^{2}=5a=20。
步骤 4：求解离心率e
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$，其中c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+20=36，所以c=6。因此，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$。