题目
设本题涉及的事件均有意义.设A,B都是事件.-|||-(1)已知 (A)gt 0, 证明 (AB|A)geqslant P(AB|Acup B).-|||-(2)若 (A|B)=1, 证明 (overline (B)|overline (A))=1.-|||-(3)若设C也是事件,且有 (A|C)geqslant P(B|C) (A|overline (C))geqslant P(B|overline (C)), 证明-|||-(A)geqslant P(B).
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $P(AB|A)\geqslant P(AB|A\cup B)$
根据条件概率的定义，$P(AB|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$，$P(AB|A\cup B)=\dfrac{P(AB)}{P(A\cup B)}$。由于$A\cup B$包含$A$，所以$P(A\cup B)\geqslant P(A)$。因此，$\dfrac{P(AB)}{P(A)}\geqslant \dfrac{P(AB)}{P(A\cup B)}$，即$P(AB|A)\geqslant P(AB|A\cup B)$。
步骤 2：证明 $P(\overline {B}|\overline {A})=1$
由$P(A|B)=1$，得$P(AB)=P(B)$。因此，$P(\overline{B}|\overline{A})=\dfrac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}=\dfrac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(A)}=\dfrac{1-P(A)-P(B)+P(B)}{1-P(A)}=\dfrac{1-P(A)}{1-P(A)}=1$。
步骤 3：证明 $P(A)\geqslant P(B)$
由$P(A|C)\geqslant P(B|C)$，得$P(AC)\geqslant P(BC)$。同理，由$P(A|\overline{C})\geqslant P(B|\overline{C})$，得$P(A\overline{C})\geqslant P(B\overline{C})$。因此，$P(A)-P(AC)\geqslant P(B)-P(BC)$，即$P(A)-P(B)\geqslant P(AC)-P(BC)$。由$P(AC)\geqslant P(BC)$，得$P(A)-P(B)\geqslant 0$，即$P(A)\geqslant P(B)$。
根据条件概率的定义，$P(AB|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$，$P(AB|A\cup B)=\dfrac{P(AB)}{P(A\cup B)}$。由于$A\cup B$包含$A$，所以$P(A\cup B)\geqslant P(A)$。因此，$\dfrac{P(AB)}{P(A)}\geqslant \dfrac{P(AB)}{P(A\cup B)}$，即$P(AB|A)\geqslant P(AB|A\cup B)$。
步骤 2：证明 $P(\overline {B}|\overline {A})=1$
由$P(A|B)=1$，得$P(AB)=P(B)$。因此，$P(\overline{B}|\overline{A})=\dfrac{P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{A})}=\dfrac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(A)}=\dfrac{1-P(A)-P(B)+P(B)}{1-P(A)}=\dfrac{1-P(A)}{1-P(A)}=1$。
步骤 3：证明 $P(A)\geqslant P(B)$
由$P(A|C)\geqslant P(B|C)$，得$P(AC)\geqslant P(BC)$。同理，由$P(A|\overline{C})\geqslant P(B|\overline{C})$，得$P(A\overline{C})\geqslant P(B\overline{C})$。因此，$P(A)-P(AC)\geqslant P(B)-P(BC)$，即$P(A)-P(B)\geqslant P(AC)-P(BC)$。由$P(AC)\geqslant P(BC)$，得$P(A)-P(B)\geqslant 0$，即$P(A)\geqslant P(B)$。