题目
44.求微分方程(dy)/(dx)=y+e^-x的通解.
44.求微分方程$\frac{dy}{dx}=y+e^{-x}$的通解.
题目解答
答案
将微分方程 $\frac{dy}{dx} = y + e^{-x}$ 整理为标准形式：
\[
\frac{dy}{dx} - y = e^{-x}
\]
此为一阶线性微分方程，其通解公式为：
\[
y = e^{\int P(x)dx} \left[ \int Q(x) e^{-\int P(x)dx} dx + C \right]
\]
其中 $P(x) = -1$，$Q(x) = e^{-x}$。代入得：
\[
y = e^{\int (-1)dx} \left[ \int e^{-x} e^{-\int (-1)dx} dx + C \right] = e^{-x} \left[ \int e^{-x} e^{x} dx + C \right] = e^{-x} \left[ \int 1 dx + C \right] = e^{-x} (x + C)
\]
但发现上述推导有误，应为：
\[
y = e^{\int 1dx} \left[ \int e^{-x} e^{-\int 1dx} dx + C \right] = e^{x} \left[ \int e^{-x} e^{-x} dx + C \right] = e^{x} \left[ \int e^{-2x} dx + C \right] = e^{x} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} + C \right) = -\frac{1}{2} e^{-x} + C e^{x}
\]
因此，通解为：
\[
y = C e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x}
\]
答案：$y = C e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x}$
解析
本题考察一阶线性微分方程的求解，解题思路如下：
步骤1：识别方程类型
给定微分方程 $\frac{dy}{dx} = y + e^{-x}$，整理为一阶线性微分方程的标准形式：
$\frac{dy}{dx} - y = e^{-x}$
其中 $P(x) = -1$（$y$ 的系数），$Q(x) = e^{-x}$（非齐次项）。
步骤2：应用通解公式
一阶线性微分方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的通解公式为：
$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$
注意：原答案中首次推导错误地混淆了积分符号，正确代入应为：
- $\int P(x)dx = \int (-1)dx = -x$，故 $e^{\int P(x)dx} = e^{-x}$，$e^{-\int P(x)dx} = e^{x}$。
步骤3：计算积分
代入公式：
$y = e^{x} \left( \int e^{-x} \cdot e^{-x} dx + C \right) = e^{x} \left( \int e^{-2x} dx + C \right)$
计算积分 $\int e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_1$，代入得：
$y = e^{x} \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} + C \right) = -\frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$
最终通解
整理得通解：
$y = Ce^x - \frac{1}{2}e^{-x}$