题目
6.证明恒等式: arcsin x+arccos x=dfrac (pi )(2)(-1leqslant xleqslant 1).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
设 $f(x)=\arcsin x+\arccos x$，其中 $-1\leqslant x\leqslant 1$。
步骤 2：求导
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据反三角函数的导数公式，有：
$$
f'(x)=\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}-\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=0
$$
步骤 3：确定常数
由于 $f'(x)=0$，说明 $f(x)$ 是一个常数函数。为了确定这个常数，我们可以计算 $f(0)$ 的值：
$$
f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=\dfrac {\pi }{2}
$$
因此，$f(x)=\dfrac {\pi }{2}$ 对于所有 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 成立。
设 $f(x)=\arcsin x+\arccos x$，其中 $-1\leqslant x\leqslant 1$。
步骤 2：求导
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据反三角函数的导数公式，有：
$$
f'(x)=\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}-\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=0
$$
步骤 3：确定常数
由于 $f'(x)=0$，说明 $f(x)$ 是一个常数函数。为了确定这个常数，我们可以计算 $f(0)$ 的值：
$$
f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=\dfrac {\pi }{2}
$$
因此，$f(x)=\dfrac {\pi }{2}$ 对于所有 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 成立。