1.已知方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=2 3(x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=a (x)_(2)+2(x)_(3)+2(x)_(4)=3 .有无数解，求参数 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=2 3(x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=a (x)_(2)+2(x)_(3)+2(x)_(4)=3 .并求方程组的通解。

考查要点：本题主要考查线性方程组有无数解的条件及通解的求法。
解题思路：

1. 判断解的情况：方程组有无数解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且均小于未知数的个数。
2. 求参数：通过对方程组的增广矩阵进行初等行变换，确定参数$a$的值使得$r(A) = r(A|b) < 4$。
3. 求通解：在方程组有解的情况下，将增广矩阵化为行最简形，确定基础解系和特解，写出通解。

步骤1：构造增广矩阵并进行初等行变换

增广矩阵为：
$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\3 & 2 & 1 & 1 & a \\0 & 1 & 2 & 2 & 3\end{array}\right]$

行变换过程：

1. 消去第二行的$x_1$：第二行减去$3$倍第一行，得：
   $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & a-6 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right]$
2. 消去第三行的$x_2$：第三行加上第二行，得：
   $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & a-6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-3 \end{array}\right]$

关键结论：

• 第三行对应方程$0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = a-3$，若方程组有解，则必须满足$a-3 = 0$，即$a = 3$。

步骤2：确定通解的结构

当$a = 3$时，增广矩阵化简为：
$\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\0 & -1 & -2 & -2 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

进一步化简：

1. 第二行乘以$-1$，得：
   $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$
2. 消去第一行的$x_2$：第一行减去第二行，得：
   $\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

关键结论：

• 自由变量：$x_3$和$x_4$中，$x_3$可自由取值，$x_4$由方程确定。
• 基础解系：对应齐次方程组的解为$(1, -2, 1, 0)^T$。
• 特解：取自由变量$x_3 = 0$，解得特解$(-5, -5, 0, -4)^T$。