三、判断题（共15题，15.0分）题型说明：判断题44.（判断题，1.0分）函数f(x,y)=|x|+|y|在原点处偏导数存在。A 对B 错

考查要点：本题主要考查二元函数在某一点偏导数的存在性判断，特别是涉及绝对值函数在原点处的可导性问题。

解题核心思路：
偏导数的定义是解决问题的关键。需分别计算函数在原点处关于$x$和$y$的偏导数是否存在。关键点在于分析差商的左右极限是否相等，若不相等，则偏导数不存在。

破题关键：

1. 明确偏导数的定义，分别对$x$和$y$方向进行计算。
2. 代入绝对值函数的表达式，分析$h \to 0^+$和$h \to 0^-$时的极限是否存在。

关于$x$的偏导数$f_x(0,0)$

根据偏导数定义：
$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| + 0 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}.$

• 当$h \to 0^+$时，$\frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = 1$；
• 当$h \to 0^-$时，$\frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1$。

左右极限不相等，因此$f_x(0,0)$不存在。

关于$y$的偏导数$f_y(0,0)$

同理，根据偏导数定义：
$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 + |k| - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|k|}{k}.$

• 当$k \to 0^+$时，$\frac{|k|}{k} = 1$；
• 当$k \to 0^-$时，$\frac{|k|}{k} = -1$。

左右极限不相等，因此$f_y(0,0)$也不存在。

结论：函数$f(x,y)$在原点处的偏导数不存在，题目说法错误。