题目

20.计算不定积分int x^2ln(x+1)dx.

20.计算不定积分$\int x^{2}\ln(x+1)dx$.

题目解答

答案

设 $u = \ln(x+1)$，$dv = x^2 \, dx$，则 $du = \frac{1}{x+1} \, dx$，$v = \frac{x^3}{3}$。应用分部积分法得： \[ \int x^2 \ln(x+1) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \int \frac{x^3}{3(x+1)} \, dx \] 对 $\frac{x^3}{x+1}$ 进行多项式除法： \[ \frac{x^3}{x+1} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1} \] 则： \[ \int \frac{x^3}{3(x+1)} \, dx = \frac{1}{3} \int \left( x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1} \right) \, dx = \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln|x+1| + C \] 代回原式： \[ \int x^2 \ln(x+1) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \left( \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln|x+1| \right) + C \] 化简得： \[ \boxed{\frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \ln(x+1) + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对有理分式的分解与积分能力。关键在于合理选择分部积分中的$u$和$dv$，并通过多项式除法简化被积函数。

解题思路：

选择分部积分的$u$和$dv$：通常将对数函数$\ln(x+1)$设为$u$，剩余部分$x^2 dx$设为$dv$，便于后续积分。
分部积分展开：通过公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$展开，将原积分转化为更简单的积分。
简化分式：对$\frac{x^3}{x+1}$进行多项式除法，分解为多项式与简单分式的组合，便于逐项积分。
合并结果：将分部积分和分解后的积分结果合并，整理得到最终答案。

分部积分法应用

设$u = \ln(x+1)$，则$du = \frac{1}{x+1} dx$；设$dv = x^2 dx$，则$v = \frac{x^3}{3}$。根据分部积分公式：
$\int x^2 \ln(x+1) dx = \frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \int \frac{x^3}{3(x+1)} dx$

分式分解与积分

对$\frac{x^3}{x+1}$进行多项式除法：
$\frac{x^3}{x+1} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1}$
因此：
$\int \frac{x^3}{3(x+1)} dx = \frac{1}{3} \int \left( x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1} \right) dx$
逐项积分：
$\begin{aligned}\int x^2 dx &= \frac{x^3}{3}, \\\int (-x) dx &= -\frac{x^2}{2}, \\\int 1 dx &= x, \\\int \frac{1}{x+1} dx &= \ln|x+1|.\end{aligned}$
合并结果：
$\frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| \right) = \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln|x+1|$

代回原式并整理

将积分结果代入分部积分公式：
$\int x^2 \ln(x+1) dx = \frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \left( \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \ln|x+1| \right) + C$
展开并合并同类项：
$\frac{x^3}{3} \ln(x+1) - \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \ln|x+1| + C$