题目
求下列函数的极值.(1)y=x^3-3x^2-9x+5；(2)y=x^3(x-5)^2.
求下列函数的极值.
$(1)y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$；
$(2)y=x^{3}(x-5)^{2}.$
$(1)y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$；
$(2)y=x^{3}(x-5)^{2}.$
题目解答
答案
解：(1)∵y=x3-3x2-9x+5，
∴y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)，
x∈(-∞，-1)∪(3，+∞)，f′(x)＞0，f(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)单调递增，
x∈(-1，3)，f′(x)＜0，f(x)在(-1，3)单调递减，
∴f(x)极大值=f(-1)=10，f(x)极小值=f(3)=-22；
(2)∵y=x3(x-5)2，
∴y′=3x2(x-5)2+2x3(x-5)=[x2(x-5)]•[(3x-15)+2x)]=5x2(x-3)(x-5)，
当x＜3或x＞5时，y′≥0，当3＜x＜5时，y′＜0，
∴当x=3时，y=x3(x-5)2取得极大值f(3)=108．
当x=5时，y=x3(x-5)2取得极小值f(5)=0．
∴y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)，
x∈(-∞，-1)∪(3，+∞)，f′(x)＞0，f(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)单调递增，
x∈(-1，3)，f′(x)＜0，f(x)在(-1，3)单调递减，
∴f(x)极大值=f(-1)=10，f(x)极小值=f(3)=-22；
(2)∵y=x3(x-5)2，
∴y′=3x2(x-5)2+2x3(x-5)=[x2(x-5)]•[(3x-15)+2x)]=5x2(x-3)(x-5)，
当x＜3或x＞5时，y′≥0，当3＜x＜5时，y′＜0，
∴当x=3时，y=x3(x-5)2取得极大值f(3)=108．
当x=5时，y=x3(x-5)2取得极小值f(5)=0．
解析
步骤 1：求导数
对于函数 $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$，我们首先求其导数 $y'$，以确定函数的单调性。
步骤 2：求导数的零点
令 $y'=0$，解出 $x$ 的值，这些值是函数可能的极值点。
步骤 3：判断极值点
通过导数的符号变化来判断这些点是极大值点还是极小值点。
步骤 4：求导数
对于函数 $y=x^{3}(x-5)^{2}$，我们同样求其导数 $y'$。
步骤 5：求导数的零点
令 $y'=0$，解出 $x$ 的值，这些值是函数可能的极值点。
步骤 6：判断极值点
通过导数的符号变化来判断这些点是极大值点还是极小值点。
对于函数 $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$，我们首先求其导数 $y'$，以确定函数的单调性。
步骤 2：求导数的零点
令 $y'=0$，解出 $x$ 的值，这些值是函数可能的极值点。
步骤 3：判断极值点
通过导数的符号变化来判断这些点是极大值点还是极小值点。
步骤 4：求导数
对于函数 $y=x^{3}(x-5)^{2}$，我们同样求其导数 $y'$。
步骤 5：求导数的零点
令 $y'=0$，解出 $x$ 的值，这些值是函数可能的极值点。
步骤 6：判断极值点
通过导数的符号变化来判断这些点是极大值点还是极小值点。