题目
1.求下列幂级数的收敛区间:-|||-(8) sum _(n=1)^infty dfrac ({(x-5))^n}(sqrt {n)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 $\dfrac{{(x-5)}^{n}}{\sqrt{n}}$，其中 $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$。
步骤 2：计算收敛半径
使用比值判别法计算收敛半径 $R$。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$。将 $a_n$ 代入公式中，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt {n}}{\sqrt {n+1}} = 1$$
因此，收敛半径 $R = 1$。
步骤 3：确定收敛区间
收敛半径为1，所以当 $|x-5| < 1$ 时，级数收敛；当 $|x-5| > 1$ 时，级数发散。解不等式 $|x-5| < 1$，得到 $4 < x < 6$。因此，级数的收敛区间为 $(4,6)$。
幂级数的一般项为 $\dfrac{{(x-5)}^{n}}{\sqrt{n}}$，其中 $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$。
步骤 2：计算收敛半径
使用比值判别法计算收敛半径 $R$。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$。将 $a_n$ 代入公式中，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt {n}}{\sqrt {n+1}} = 1$$
因此，收敛半径 $R = 1$。
步骤 3：确定收敛区间
收敛半径为1，所以当 $|x-5| < 1$ 时，级数收敛；当 $|x-5| > 1$ 时，级数发散。解不等式 $|x-5| < 1$，得到 $4 < x < 6$。因此，级数的收敛区间为 $(4,6)$。