题目
4.判断题若P(x,y,z)在正向光滑闭曲面sum所围区域Ω内具有一阶连续偏导数，则ointlimits_(sum)Pdydz=intintintlimits_(Omega)(partial P)/(partial x)dxdydz.（ ）A. 对B. 错
4.判断题
若P(x,y,z)在正向光滑闭曲面$\sum$所围区域Ω内具有一阶连续偏导数，则$\oint\limits_{\sum}Pdydz=\int\int\int\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}dxdydz$.（ ）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：应用散度定理
根据散度定理，对于一个向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 和一个由正向光滑闭曲面 $\sum$ 所围的区域 $\Omega$，向量场通过曲面的 outward flux 等于向量场的散度在区域 $\Omega$ 上的三重积分。数学上，这可以表示为： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int\int\int\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中 $\mathbf{n}$ 是曲面 $\sum$ 的外单位法向量，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的散度。
步骤 2：考虑向量场 $\mathbf{F} = (P, 0, 0)$
对于这个向量场，散度为： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} \] 根据散度定理，我们有： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int\int\int\limits_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \, dV \] 向量场 $\mathbf{F} = (P, 0, 0)$ 通过曲面 $\sum$ 的 outward flux 可以写为： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint\limits_{\sum} P \, n_1 \, dS \] 其中 $n_1$ 是外单位法向量 $\mathbf{n}$ 的 $x$-分量。在曲面坐标中，$n_1 \, dS = dy \, dz$，因此我们有： \[ \oint\limits_{\sum} P \, n_1 \, dS = \oint\limits_{\sum} P \, dy \, dz \] 因此，散度定理给出： \[ \oint\limits_{\sum} P \, dy \, dz = \int\int\int\limits_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \, dV \] 这与给定的陈述完全相同。
根据散度定理，对于一个向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 和一个由正向光滑闭曲面 $\sum$ 所围的区域 $\Omega$，向量场通过曲面的 outward flux 等于向量场的散度在区域 $\Omega$ 上的三重积分。数学上，这可以表示为： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int\int\int\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中 $\mathbf{n}$ 是曲面 $\sum$ 的外单位法向量，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的散度。
步骤 2：考虑向量场 $\mathbf{F} = (P, 0, 0)$
对于这个向量场，散度为： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} \] 根据散度定理，我们有： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \int\int\int\limits_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \, dV \] 向量场 $\mathbf{F} = (P, 0, 0)$ 通过曲面 $\sum$ 的 outward flux 可以写为： \[ \oint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint\limits_{\sum} P \, n_1 \, dS \] 其中 $n_1$ 是外单位法向量 $\mathbf{n}$ 的 $x$-分量。在曲面坐标中，$n_1 \, dS = dy \, dz$，因此我们有： \[ \oint\limits_{\sum} P \, n_1 \, dS = \oint\limits_{\sum} P \, dy \, dz \] 因此，散度定理给出： \[ \oint\limits_{\sum} P \, dy \, dz = \int\int\int\limits_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \, dV \] 这与给定的陈述完全相同。