例2.设实数x,y满足 (x)^2+2(y)^2=6 ,求 2x+y 的最大值.

考查要点：本题主要考查利用柯西不等式求解线性表达式的最大值问题，需要将已知条件与目标表达式进行合理构造，灵活应用不等式。

解题核心思路：
将目标表达式 $2x + y$ 平方后，通过柯西不等式转化为已知条件 $3x^2 + 2y^2 = 6$ 的形式。关键在于构造合适的系数，使得不等式两边匹配，从而求出最大值。

破题关键点：

1. 拆分目标表达式：将 $2x + y$ 表示为两个向量的点积形式。
2. 选择系数：通过调整系数，使得应用柯西不等式后，右边的表达式能直接关联已知条件 $3x^2 + 2y^2$。
3. 等号条件：确定变量 $x$ 和 $y$ 的比例关系，代入已知条件求出具体值。

步骤1：应用柯西不等式构造表达式
将 $2x + y$ 平方，拆分为两个向量的点积形式：
$(2x + y)^2 = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}y \right)^2.$

步骤2：应用柯西不等式
根据柯西不等式 $(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$，得：
$\begin{aligned}(2x + y)^2 &\leq \left( \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \right) \left( (\sqrt{3}x)^2 + (\sqrt{2}y)^2 \right) \\&= \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) (3x^2 + 2y^2).\end{aligned}$

步骤3：代入已知条件
已知 $3x^2 + 2y^2 = 6$，代入得：
$(2x + y)^2 \leq \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) \cdot 6 = \frac{11}{6} \cdot 6 = 11.$

步骤4：求最大值
因此，$2x + y \leq \sqrt{11}$，当且仅当 $\frac{2}{\sqrt{3}} : \sqrt{3}x = \frac{1}{\sqrt{2}} : \sqrt{2}y$ 时取等号。解得：
$x = \frac{4}{\sqrt{11}}, \quad y = \frac{3}{\sqrt{11}}.$