6.设f(x)在[a,b ]上连续,在(a,b )内二阶可导, (a)=f(b)=0, 且 '(a)f'(b)gt 0. 证-|||-明:f"(x)在(a,b)内至少有一个零点.

考查要点：本题主要考查罗尔定理的灵活应用及导数的性质，特别是二阶导数零点的存在性证明。

解题核心思路：

1. 利用罗尔定理：由$f(a)=f(b)=0$，可得存在一点$c \in (a,b)$使得$f'(c)=0$。
2. 构造子区间应用罗尔定理：在区间$[a,c]$或$[c,b]$上，结合$f'(a)f'(b)>0$的条件，进一步应用罗尔定理于$f'(x)$，从而得到$f''(x)$的零点。

破题关键点：

• 端点导数同号：$f'(a)f'(b)>0$说明$f'(a)$与$f'(b)$同号，结合$f'(c)=0$，可推断$f'(x)$在子区间内存在极值点，进而应用罗尔定理。

步骤1：应用罗尔定理于$f(x)$
由题意，$f(x)$在$[a,b]$上连续且可导，且$f(a)=f(b)=0$，根据罗尔定理，存在$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。

步骤2：分析$f'(x)$的单调性
假设$f'(a) > 0$（同理可证$f'(a) < 0$的情况），则$f'(b) > 0$（因$f'(a)f'(b) > 0$）。

• 在区间$[a,c]$上，$f'(a) > 0$且$f'(c)=0$，说明$f'(x)$从正数下降到0，因此在$(a,c)$内存在一点$d$，使得$f''(d)=0$（否则$f'(x)$单调递减，矛盾）。
• 同理，在区间$[c,b]$上，$f'(c)=0$且$f'(b) > 0$，说明$f'(x)$从0上升到正数，因此在$(c,b)$内存在一点$e$，使得$f''(e)=0$。

结论：$f''(x)$在$(a,b)$内至少有一个零点。