题目

14.微分方程(dy)/(dx)=(1)/(x+y)的通解为____

14.微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}$的通解为____

题目解答

答案

令 $u = x + y$，则 $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$。代入原方程得： \[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{u} = \frac{u + 1}{u} \] 分离变量并积分： \[ \int \frac{u}{u+1} du = \int dx \implies u - \ln|u + 1| = x + C \] 代回 $u = x + y$： \[ x + y - \ln|x + y + 1| = x + C \implies y = \ln|x + y + 1| + C \] 或等价表示为： \[ x + y + 1 = C e^y \] **答案：** \[ \boxed{y = \ln|x + y + 1| + C} \quad \text{或} \quad \boxed{x + y + 1 = C e^y} \]

解析

本题考察可通过变量替换求解的一阶微分方程，关键在于利用合适的变量替换将方程转化为可分离变量的形式。

解题步骤：

  1. 变量替换：
    观察方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y}$，发现右端分母为 $x+y$，令 $u = x + y$，则 $y = u - x$，对 $x$ 求导得：
    $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$

  2. 代入原方程：
    将 $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$ 和 $u = x+y$ 代入原方程：
    $\frac{du}{dx} - 1 = \frac{1}{u} \implies \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{u} = \frac{u+1}{u}$

  3. 分离变量与积分：
    分离变量得：
    $\int \frac{u}{u+1} du = \int dx$
    左边积分：$\int \frac{u}{u+1} du = \int \left(1 - \frac{1}{u+1}\right) du = u - \ln|u+1| + C_1$
    右边积分：$\int dx = x + C_2$
    合并常数得：
    $u - \ln|u+1| = x + C \quad (C = C_2 - C_1)$

  4. 回代 $u = x+y$：
    代入 $u = x+y$：
    $x + y - \ln|x+y+1| = x + C$
    化简得：
    $y = \ln|x+y+1| + C$
    若进一步整理，两边取指数：
    $e^y = e^C |x+y+1| \implies x+y+1 = C e^y \quad (C = \pm e^C \text{ 为非零常数})$