题目
微分方程 y'' + 2y' + 10y = 0 的通解为(）。A. e^-x (C_1 sin x + C_2 cos x)B. C_1 e^-x + C_2 e^3xC. e^-x (C_1 cos 3x + C_2 sin 3x)D. e^-x (C_1 sin 3x + C_2 x)
微分方程 $y'' + 2y' + 10y = 0$ 的通解为(）。
A. $e^{-x} (C_1 \sin x + C_2 \cos x)$
B. $C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x}$
C. $e^{-x} (C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)$
D. $e^{-x} (C_1 \sin 3x + C_2 x)$
题目解答
答案
C. $e^{-x} (C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)$
解析
步骤 1：求特征方程
给定微分方程 $y'' + 2y' + 10y = 0$，其对应的特征方程为 $r^2 + 2r + 10 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 2$，$c = 10$，代入得：\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = -1 \pm 3i \]
步骤 3：确定通解形式
由于特征方程的根为复数 $-1 \pm 3i$，根据二阶线性齐次微分方程的解法，通解形式为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$，其中 $\alpha = -1$，$\beta = 3$。
给定微分方程 $y'' + 2y' + 10y = 0$，其对应的特征方程为 $r^2 + 2r + 10 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 2$，$c = 10$，代入得：\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = -1 \pm 3i \]
步骤 3：确定通解形式
由于特征方程的根为复数 $-1 \pm 3i$，根据二阶线性齐次微分方程的解法，通解形式为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$，其中 $\alpha = -1$，$\beta = 3$。