题目
一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t3，式中θ以rad计，t以s计，求：（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？
一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t3，式中θ以rad计，t以s计，求：
（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；
（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？
（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；
（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？
题目解答
答案
（1）由公式θ=2+3t3，
根据角速度与转过的角度的微分关系可得：
则线速度的大小为：v=ωR=9t2
在t=2s时，它的法向加速度为：
=1×（9×22）2=1296m/s2
它的切向加速度为：
=18t=18×2=36m/s2
（2）由矢量合成的关系可知，当总加速度与半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即：an=a′
代入数据可得：1×81t4=9t
则：t3=
此时：
rad
答：（1）在t=2s时，它的法向加速度和切向加速度分别是1296m/s2和36m/s2；
（2）当θ等于
rad时其总加速度与半径成45°角。
解析
步骤 1：计算角速度
由运动方程θ=2+3t^{3}，根据角速度与转过的角度的微分关系可得：$\omega =\dfrac {d\theta }{dt}=9{t}^{2}$
步骤 2：计算线速度
线速度的大小为：v=ωR=9t^{2}×1=9t^{2}
步骤 3：计算切向加速度
切向加速度为：a_t=18t
步骤 4：计算法向加速度
法向加速度为：${a}_{n}={\omega }^{2}R=(9{t}^{2})^{2}×1=81{t}^{4}$
步骤 5：计算t=2s时的切向和法向加速度
将t=2s代入切向加速度和法向加速度的表达式中，得到：a_t=18×2=36m/s^{2}，${a}_{n}=81×{2}^{4}=1296m/{s}^{2}$
步骤 6：计算加速度方向与半径成45°角时的角位移
当加速度的方向和半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即：a_n=a_t
代入数据可得：81t^{4}=18t
解得：t^{3}=$\dfrac {1}{6}$
此时：$\theta =2+3{t}^{3}=2+\dfrac {1}{6}=\dfrac {13}{6}$rad
由运动方程θ=2+3t^{3}，根据角速度与转过的角度的微分关系可得：$\omega =\dfrac {d\theta }{dt}=9{t}^{2}$
步骤 2：计算线速度
线速度的大小为：v=ωR=9t^{2}×1=9t^{2}
步骤 3：计算切向加速度
切向加速度为：a_t=18t
步骤 4：计算法向加速度
法向加速度为：${a}_{n}={\omega }^{2}R=(9{t}^{2})^{2}×1=81{t}^{4}$
步骤 5：计算t=2s时的切向和法向加速度
将t=2s代入切向加速度和法向加速度的表达式中，得到：a_t=18×2=36m/s^{2}，${a}_{n}=81×{2}^{4}=1296m/{s}^{2}$
步骤 6：计算加速度方向与半径成45°角时的角位移
当加速度的方向和半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即：a_n=a_t
代入数据可得：81t^{4}=18t
解得：t^{3}=$\dfrac {1}{6}$
此时：$\theta =2+3{t}^{3}=2+\dfrac {1}{6}=\dfrac {13}{6}$rad