题目
28.6 处于一维无限深方势阱中的微观粒子的本征函数系为-|||-_(n)(x)= sqrt (dfrac {2)(a)}sin dfrac (npi x)(a)(0leqslant xleqslant a) (n=1,2,3,... )-|||-0 (xa )-|||-试求:(1)粒子在 leqslant xleqslant a/4 区间中出现的概率,并对 n=1 和n→∞的情况算出概率值;(2)粒-|||-子处在基态时,概率密度最大的位置;(3)在哪些量子态上, a/4 处的概率密度取极大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算粒子在 $0\leqslant x\leqslant a/4$ 区间中出现的概率
根据量子力学，粒子在某区间出现的概率等于该区间内波函数的模平方的积分。对于本征函数 ${\varphi }_{n}(x)$，概率为：
$$
W_n = \int_{0}^{a/4} |\varphi_n(x)|^2 dx = \int_{0}^{a/4} \frac{2}{a} \sin^2 \left(\frac{nx}{a}\right) dx
$$
利用三角函数的恒等式 $\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$，可以将积分简化为：
$$
W_n = \frac{1}{a} \int_{0}^{a/4} (1 - \cos(\frac{2nx}{a})) dx
$$
计算积分，得到：
$$
W_n = \frac{1}{a} \left[ x - \frac{a}{2n} \sin(\frac{2nx}{a}) \right]_{0}^{a/4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n\pi} \sin(\frac{n\pi}{2})
$$
对于 $n=1$，$W_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi} \approx 0.09085$。当 $n \to \infty$，$W_n \to \frac{1}{4}$。
步骤 2：计算粒子处在基态时，概率密度最大的位置
基态时，$n=1$，波函数为 $\varphi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{x}{a})$。概率密度为：
$$
\rho_1(x) = |\varphi_1(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2(\frac{x}{a})
$$
概率密度最大值出现在 $\sin(\frac{x}{a})$ 的最大值处，即 $x = \frac{a}{2}$。
步骤 3：计算在哪些量子态上，$a/4$ 处的概率密度取极大
概率密度为：
$$
\rho_n(x) = |\varphi_n(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2(\frac{nx}{a})
$$
在 $x = \frac{a}{4}$ 处，$\sin(\frac{nx}{a}) = \sin(\frac{n\pi}{4})$。当 $\sin(\frac{n\pi}{4})$ 取最大值时，$n = 2(2k-1)$，其中 $k = 1, 2, 3, \cdots$。此时，$\rho_n(x)$ 取极大值 $\frac{2}{a}$。
根据量子力学，粒子在某区间出现的概率等于该区间内波函数的模平方的积分。对于本征函数 ${\varphi }_{n}(x)$，概率为：
$$
W_n = \int_{0}^{a/4} |\varphi_n(x)|^2 dx = \int_{0}^{a/4} \frac{2}{a} \sin^2 \left(\frac{nx}{a}\right) dx
$$
利用三角函数的恒等式 $\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$，可以将积分简化为：
$$
W_n = \frac{1}{a} \int_{0}^{a/4} (1 - \cos(\frac{2nx}{a})) dx
$$
计算积分，得到：
$$
W_n = \frac{1}{a} \left[ x - \frac{a}{2n} \sin(\frac{2nx}{a}) \right]_{0}^{a/4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n\pi} \sin(\frac{n\pi}{2})
$$
对于 $n=1$，$W_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi} \approx 0.09085$。当 $n \to \infty$，$W_n \to \frac{1}{4}$。
步骤 2：计算粒子处在基态时，概率密度最大的位置
基态时，$n=1$，波函数为 $\varphi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{x}{a})$。概率密度为：
$$
\rho_1(x) = |\varphi_1(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2(\frac{x}{a})
$$
概率密度最大值出现在 $\sin(\frac{x}{a})$ 的最大值处，即 $x = \frac{a}{2}$。
步骤 3：计算在哪些量子态上，$a/4$ 处的概率密度取极大
概率密度为：
$$
\rho_n(x) = |\varphi_n(x)|^2 = \frac{2}{a} \sin^2(\frac{nx}{a})
$$
在 $x = \frac{a}{4}$ 处，$\sin(\frac{nx}{a}) = \sin(\frac{n\pi}{4})$。当 $\sin(\frac{n\pi}{4})$ 取最大值时，$n = 2(2k-1)$，其中 $k = 1, 2, 3, \cdots$。此时，$\rho_n(x)$ 取极大值 $\frac{2}{a}$。