题目
从（0，1）中随机地取两个数，求： （1）两个数之和小于6/5的概率； （2）两个数之积小于1/4的概率.
从（0，1）中随机地取两个数，求： （1）两个数之和小于6/5的概率； （2）两个数之积小于1/4的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本空间
设两数分别为 $x$ 和 $y$，则 $0 < x < 1$ 和 $0 < y < 1$。样本空间是边长为1的正方形区域。
步骤 2：计算两个数之和小于6/5的概率
设事件A表示“两个数之和小于 $\frac{6}{5}$”，即 $x + y < \frac{6}{5}$。在正方形区域中，这表示一个三角形区域，其顶点为 $(0,0)$, $(\frac{6}{5},0)$ 和 $(0,\frac{6}{5})$。但因为 $x$ 和 $y$ 都在 $(0,1)$ 之间，所以实际的区域是正方形内的一部分，即 $x + y < \frac{6}{5}$ 且 $x,y \in (0,1)$。这个区域是一个三角形，其底和高都是 $\frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$，所以面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$。因此，$P(A) = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$。
步骤 3：计算两个数之积小于1/4的概率
设事件B表示“两个数之积小于 $\frac{1}{4}$”，即 $xy < \frac{1}{4}$。在正方形区域中，这表示一个曲边三角形区域，其边界由曲线 $y = \frac{1}{4x}$ 和正方形的边组成。这个区域的面积可以通过积分计算得到，即 $P(B) = 1 - \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{4x} dx = 1 - \frac{1}{4} \ln 4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$。
设两数分别为 $x$ 和 $y$，则 $0 < x < 1$ 和 $0 < y < 1$。样本空间是边长为1的正方形区域。
步骤 2：计算两个数之和小于6/5的概率
设事件A表示“两个数之和小于 $\frac{6}{5}$”，即 $x + y < \frac{6}{5}$。在正方形区域中，这表示一个三角形区域，其顶点为 $(0,0)$, $(\frac{6}{5},0)$ 和 $(0,\frac{6}{5})$。但因为 $x$ 和 $y$ 都在 $(0,1)$ 之间，所以实际的区域是正方形内的一部分，即 $x + y < \frac{6}{5}$ 且 $x,y \in (0,1)$。这个区域是一个三角形，其底和高都是 $\frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$，所以面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$。因此，$P(A) = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$。
步骤 3：计算两个数之积小于1/4的概率
设事件B表示“两个数之积小于 $\frac{1}{4}$”，即 $xy < \frac{1}{4}$。在正方形区域中，这表示一个曲边三角形区域，其边界由曲线 $y = \frac{1}{4x}$ 和正方形的边组成。这个区域的面积可以通过积分计算得到，即 $P(B) = 1 - \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{4x} dx = 1 - \frac{1}{4} \ln 4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$。