[例 1-7] 在稳定流动系统中,水连续从粗管流入细管。粗管内径 _(1)=10cm, 细管-|||-内径 _(2)=5cm, 当流量为 times (10)^-3(m)^3/s 时,求粗管内和细管内水的流速?

考查要点：本题主要考查稳定流动系统中连续性方程的应用，以及流速与管道截面积的关系。

解题核心思路：

1. 连续性方程：对于不可压缩流体，体积流量（Q）在流动过程中保持不变，即 $Q = u_1 A_1 = u_2 A_2$，其中 $u$ 为流速，$A$ 为管道横截面积。
2. 管道截面积公式：$A = \dfrac{\pi d^2}{4}$（$d$ 为管道内径）。
3. 流速与管径的关系：由连续性方程可推导出 $u_2 = u_1 \left( \dfrac{d_1}{d_2} \right)^2$，即流速与管径的平方成反比。

破题关键点：

• 正确应用连续性方程，明确体积流量恒定。
• 灵活运用管径比例简化计算，避免重复计算截面积。

步骤1：计算粗管流速 $u_1$

根据流量公式 $Q = u_1 A_1$，得：
$u_1 = \dfrac{Q}{A_1} = \dfrac{4 \times 10^{-3}}{\dfrac{\pi}{4} \times (0.1)^2} = \dfrac{4 \times 10^{-3}}{0.007854} \approx 0.51 \, \text{m/s}$

步骤2：利用连续性方程求细管流速 $u_2$

由 $u_1 A_1 = u_2 A_2$，结合截面积公式 $A = \dfrac{\pi d^2}{4}$，可得：
$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{A_1}{A_2} = \left( \dfrac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \dfrac{10}{5} \right)^2 = 4$
因此：
$u_2 = 4 \times u_1 = 4 \times 0.51 = 2.04 \, \text{m/s}$