0 3 3-|||-设A= 1 1 0 , AB=A+2B ,求B。-|||--1 2 3

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵运算、逆矩阵的求解以及方程变形能力。

解题核心思路：

1. 方程变形：将原方程 $AB = A + 2B$ 整理为 $(A - 2I)B = A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
2. 逆矩阵应用：若矩阵 $A - 2I$ 可逆，则 $B = (A - 2I)^{-1}A$。
3. 行变换求逆：通过增广矩阵 $(A - 2I \mid E)$ 进行行变换求逆矩阵。

破题关键：

• 正确变形方程，分离出 $B$。
• 验证 $A - 2I$ 是否可逆（题目隐含可逆）。
• 准确执行行变换，确保逆矩阵计算无误。

步骤1：方程变形

原方程 $AB = A + 2B$，移项得：
$AB - 2B = A \implies (A - 2I)B = A$
其中 $I$ 为三阶单位矩阵。

步骤2：构造增广矩阵求逆

需计算 $(A - 2I)^{-1}$。构造增广矩阵 $(A - 2I \mid E)$：
$\left( \begin{array}{ccc|ccc} -2 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
通过行变换化为行阶梯形，最终得到：
$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)$
右侧即为 $(A - 2I)^{-1}$。

步骤3：计算 $B$

将 $(A - 2I)^{-1}$ 与 $A$ 相乘：
$B = (A - 2I)^{-1}A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
计算结果为：
$B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$