题目
设A,B均为n阶可逆矩阵，则(AB)^-1=(）.A. BAB. A^-1B^-1C. ABD. B^-1A^-1
设$A,B$均为$n$阶可逆矩阵，则$(AB)^{-1}=$(）.
A. $BA$
B. $A^{-1}B^{-1}$
C. $AB$
D. $B^{-1}A^{-1}$
题目解答
答案
D. $B^{-1}A^{-1}$
解析
步骤 1：逆矩阵的定义
逆矩阵的定义是：如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么存在一个矩阵 $B$，使得 $AB = BA = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。
步骤 2：逆矩阵的性质
对于两个可逆矩阵 $A$ 和 $B$，它们的乘积 $AB$ 也是可逆的，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。这是因为：
\[ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I \]
\[ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = I \]
步骤 3：选择正确的选项
根据逆矩阵的性质，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，因此正确答案是选项 D。
逆矩阵的定义是：如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么存在一个矩阵 $B$，使得 $AB = BA = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。
步骤 2：逆矩阵的性质
对于两个可逆矩阵 $A$ 和 $B$，它们的乘积 $AB$ 也是可逆的，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。这是因为：
\[ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I \]
\[ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = I \]
步骤 3：选择正确的选项
根据逆矩阵的性质，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，因此正确答案是选项 D。