证明多项式f(x)=x^3-3x+a在[0,1]上不可能有两个零点。

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性，进而判断方程在特定区间内零点个数的能力。

解题核心思路：通过求导确定函数在区间$[0,1]$上的单调性。若函数严格单调，则其在该区间内至多有一个零点，从而不可能存在两个零点。

破题关键点：

1. 求导分析单调性：计算$f(x)$的导数$f'(x)$，判断其在区间$[0,1]$上的符号。
2. 严格单调性的结论：若函数在区间内严格单调，则方程$f(x)=0$在该区间内至多有一个实根。

步骤1：求导数并分析符号

函数$f(x)=x^3-3x+a$的导数为：
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

在区间$x \in [0,1]$时：

• $x-1 \leq 0$（当$x=1$时等于0，其余点为负）
• $x+1 > 0$（始终为正）

因此，$f'(x) = 3(x-1)(x+1) \leq 0$，且当$x \in [0,1)$时，$f'(x) < 0$。

步骤2：确定函数单调性

由于$f'(x) < 0$在区间$[0,1)$内恒成立，且仅在端点$x=1$处导数为0，因此$f(x)$在$[0,1]$上是严格递减的。

步骤3：推导零点个数

严格递减函数在区间内最多有一个零点。若存在两个零点$x_1 < x_2$，则函数需先增后减或先减后增，与严格单调性矛盾。因此，方程$f(x)=0$在$[0,1]$上不可能有两个零点。