题目
设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0，1)上服从均匀分布，Y的概率密度为_(r)(y)= {e)^-dfrac (y{2)},ygt 0 0,yleqslant 0 (1)求X和Y的联合概率密度； (2)设含有a的二次方程为a^2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率。
设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0，1)上服从均匀分布，Y的概率密度为
(1)求X和Y的联合概率密度；
(2)设含有a的二次方程为$$a^2+2Xa+Y=0$$,试求a有实根的概率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X和Y的联合概率密度
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度函数已给出。因此，X的概率密度函数为：
$${f}_{X}(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
Y的概率密度函数为：
$${f}_{Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$$
由于X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数为：
$$f(x,y) = {f}_{X}(x) \cdot {f}_{Y}(y)$$
步骤 2：求a有实根的概率
方程$a^2 + 2Xa + Y = 0$有实根的充要条件是判别式$D = (2X)^2 - 4Y \geq 0$，即$X^2 \geq Y$。因此，我们需要计算$P(X^2 \geq Y)$。
步骤 3：计算概率
根据步骤2中的条件，我们计算$P(X^2 \geq Y)$，即计算$X^2 \geq Y$的区域下的联合概率密度函数的积分。该区域由曲线$y = x^2$，$y = 0$，$x = 1$围成。因此，概率为：
$$P(X^2 \geq Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} f(x,y) \, dy \, dx$$
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度函数已给出。因此，X的概率密度函数为：
$${f}_{X}(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
Y的概率密度函数为：
$${f}_{Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$$
由于X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数为：
$$f(x,y) = {f}_{X}(x) \cdot {f}_{Y}(y)$$
步骤 2：求a有实根的概率
方程$a^2 + 2Xa + Y = 0$有实根的充要条件是判别式$D = (2X)^2 - 4Y \geq 0$，即$X^2 \geq Y$。因此，我们需要计算$P(X^2 \geq Y)$。
步骤 3：计算概率
根据步骤2中的条件，我们计算$P(X^2 \geq Y)$，即计算$X^2 \geq Y$的区域下的联合概率密度函数的积分。该区域由曲线$y = x^2$，$y = 0$，$x = 1$围成。因此，概率为：
$$P(X^2 \geq Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} f(x,y) \, dy \, dx$$