题目
6.曲线 ({x)^2+(y)^2) y=4 .
6.曲线
,在点（2,4,5）处的切线与直线
之间的夹角为（ ）.
题目解答
答案
首先为了求解两条直线之间的夹角，我们需要分别求出两直线的方向向量，对于点向式方程很容易看出此直线的方向向量为
;
对于曲线当y=4时，可以得到
,对x进行求导，得出
，
那么在点（2,4,5）求切线时，x=2，此时
,即在y=4平面上，切线为z=x+b(b为未知数)，所以可以得到此时三维空间上曲线在y=4平面上一点的切线方向向量为
(a未知)，又∵此方向向量是在y=4平面内取得的，所以与平面y=4平行，则与平面y=4的法向量垂直，易知平面y=4的法向量
，根据
，即
∴三维空间上曲线在y=4平面上一点的切线方向向量为
;
再用公式
，可得
∴可以得出
;
∴本题应该选C选项
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
对于直线$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z-2}{0}$，其方向向量为$\overrightarrow {v}=(1,1,0)$。
步骤 2：确定曲线在给定点处的切线方向向量
对于曲线$\left \{ \begin{matrix} z=\dfrac {1}{4}({x}^{2}+{y}^{2})\\ y=4\end{matrix} \right.$，当$y=4$时，可以得到$z=\dfrac {1}{4}({x}^{2}+16)$。对$x$求导，得到$\dfrac {dz}{dx}=\dfrac {1}{2}x$。在点（2,4,5）处，$x=2$，所以$\dfrac {dz}{dx}=1$。因此，切线方向向量为$\overrightarrow {w}=(1,0,1)$。
步骤 3：计算两直线之间的夹角
使用公式$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {v}\cdot \overrightarrow {w}}{|\overrightarrow {v}|\cdot |\overrightarrow {w}|}$，其中$\overrightarrow {v}=(1,1,0)$，$\overrightarrow {w}=(1,0,1)$。计算得$\cos \theta =\dfrac {1\times 1+1\times 0+0\times 1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}\cdot \sqrt {2}}=\dfrac {1}{2}$。因此，$\theta =\dfrac {\pi }{3}$。
对于直线$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z-2}{0}$，其方向向量为$\overrightarrow {v}=(1,1,0)$。
步骤 2：确定曲线在给定点处的切线方向向量
对于曲线$\left \{ \begin{matrix} z=\dfrac {1}{4}({x}^{2}+{y}^{2})\\ y=4\end{matrix} \right.$，当$y=4$时，可以得到$z=\dfrac {1}{4}({x}^{2}+16)$。对$x$求导，得到$\dfrac {dz}{dx}=\dfrac {1}{2}x$。在点（2,4,5）处，$x=2$，所以$\dfrac {dz}{dx}=1$。因此，切线方向向量为$\overrightarrow {w}=(1,0,1)$。
步骤 3：计算两直线之间的夹角
使用公式$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {v}\cdot \overrightarrow {w}}{|\overrightarrow {v}|\cdot |\overrightarrow {w}|}$，其中$\overrightarrow {v}=(1,1,0)$，$\overrightarrow {w}=(1,0,1)$。计算得$\cos \theta =\dfrac {1\times 1+1\times 0+0\times 1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}\cdot \sqrt {2}}=\dfrac {1}{2}$。因此，$\theta =\dfrac {\pi }{3}$。