题目
,求幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac (2n-1)({2)^n}(x)^2n-2 的和函数,并求级数 sum _(n=1)^infty dfrac (2n-1)({2)^2n-1} 的和.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义幂级数
定义幂级数 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$，其定义区间为 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
步骤 2：求幂级数的积分
对 $S(x)$ 进行积分，得到 $\int S(x) dx = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}\int {x}^{2n-2} dx = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}\dfrac{{x}^{2n-1}}{2n-1} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}}$。
步骤 3：求幂级数的和函数
对 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}}$ 求和，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}} = \dfrac{x}{2-x^2}$。对 $\dfrac{x}{2-x^2}$ 求导，得到 $S(x) = \dfrac{2+x^2}{(2-x^2)^2}$。
步骤 4：求级数的和
将 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 代入 $S(x)$，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{2n-1}} = S(\dfrac{1}{\sqrt{2}}) = \dfrac{10}{9}$。
定义幂级数 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$，其定义区间为 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
步骤 2：求幂级数的积分
对 $S(x)$ 进行积分，得到 $\int S(x) dx = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}\int {x}^{2n-2} dx = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}\dfrac{{x}^{2n-1}}{2n-1} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}}$。
步骤 3：求幂级数的和函数
对 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}}$ 求和，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{2n-1}}{{2}^{n}} = \dfrac{x}{2-x^2}$。对 $\dfrac{x}{2-x^2}$ 求导，得到 $S(x) = \dfrac{2+x^2}{(2-x^2)^2}$。
步骤 4：求级数的和
将 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 代入 $S(x)$，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{2n-1}} = S(\dfrac{1}{\sqrt{2}}) = \dfrac{10}{9}$。