题目
1-10 两容器的直径分别为 _(1)=1000mm _(2)=400mm, 容器1水面上方维持不变的真空度 =-|||-100mmHg,容器2为敞口容器,当阀门F关闭时,两容器的水面高度分别为 _(1)=2.5m _(2)=-|||-1.5m。试问:(1)当阀门开启时,两液面能否维持不变?(2)若不能维持原状,当重新达到平衡-|||-时,液面高度各有何变化?-|||-D2-|||-D1-|||-Po-|||-A B-|||-三-|||-pī-|||-F-|||-习题 1-10-|||-附图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始状态
容器1的水面上方维持不变的真空度为Hv=100mmHg，容器2为敞口容器。当阀门F关闭时，两容器的水面高度分别为${z}_{1}=2.5m$和${z}_{2}=1.5m$。
步骤 2：分析阀门开启后的状态
当阀门开启时，两容器连通，水会从高处流向低处，直到两容器的水面高度相等。由于容器1的水面上方有真空度，容器2为敞口容器，水会从容器2流向容器1，直到两容器的水面高度相等。
步骤 3：计算重新达到平衡时的液面高度变化
设重新达到平衡时，两容器的水面高度为${z}_{1}'$和${z}_{2}'$。由于两容器连通，水会从高处流向低处，直到两容器的水面高度相等。因此，${z}_{1}'={z}_{2}'$。设两容器的水面高度变化分别为$\Delta z_{1}$和$\Delta z_{2}$，则有：
$$
\Delta z_{1} = z_{1}' - z_{1} = z_{1}' - 2.5m
$$
$$
\Delta z_{2} = z_{2}' - z_{2} = z_{1}' - 1.5m
$$
由于两容器的直径不同，水的体积变化量也不同。设两容器的水体积变化量分别为$\Delta V_{1}$和$\Delta V_{2}$，则有：
$$
\Delta V_{1} = \frac{\pi D_{1}^{2}}{4} \Delta z_{1}
$$
$$
\Delta V_{2} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4} \Delta z_{2}
$$
由于两容器连通，水的体积变化量相等，即$\Delta V_{1} = \Delta V_{2}$。因此，有：
$$
\frac{\pi D_{1}^{2}}{4} \Delta z_{1} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4} \Delta z_{2}
$$
代入已知数据，解得：
$$
\Delta z_{1} = 0.05m
$$
$$
\Delta z_{2} = -0.31m
$$
容器1的水面上方维持不变的真空度为Hv=100mmHg，容器2为敞口容器。当阀门F关闭时，两容器的水面高度分别为${z}_{1}=2.5m$和${z}_{2}=1.5m$。
步骤 2：分析阀门开启后的状态
当阀门开启时，两容器连通，水会从高处流向低处，直到两容器的水面高度相等。由于容器1的水面上方有真空度，容器2为敞口容器，水会从容器2流向容器1，直到两容器的水面高度相等。
步骤 3：计算重新达到平衡时的液面高度变化
设重新达到平衡时，两容器的水面高度为${z}_{1}'$和${z}_{2}'$。由于两容器连通，水会从高处流向低处，直到两容器的水面高度相等。因此，${z}_{1}'={z}_{2}'$。设两容器的水面高度变化分别为$\Delta z_{1}$和$\Delta z_{2}$，则有：
$$
\Delta z_{1} = z_{1}' - z_{1} = z_{1}' - 2.5m
$$
$$
\Delta z_{2} = z_{2}' - z_{2} = z_{1}' - 1.5m
$$
由于两容器的直径不同，水的体积变化量也不同。设两容器的水体积变化量分别为$\Delta V_{1}$和$\Delta V_{2}$，则有：
$$
\Delta V_{1} = \frac{\pi D_{1}^{2}}{4} \Delta z_{1}
$$
$$
\Delta V_{2} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4} \Delta z_{2}
$$
由于两容器连通，水的体积变化量相等，即$\Delta V_{1} = \Delta V_{2}$。因此，有：
$$
\frac{\pi D_{1}^{2}}{4} \Delta z_{1} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4} \Delta z_{2}
$$
代入已知数据，解得：
$$
\Delta z_{1} = 0.05m
$$
$$
\Delta z_{2} = -0.31m
$$