12.求函数 f(x)= { ,xneq 0 0, x=0 . 在 x=0 处的导数.

考查要点：本题主要考查导数的定义以及极限的计算，特别是分段函数在分段点处导数的求解方法。

解题核心思路：
当函数在某点处分段定义时，若直接求导存在困难（如分段点两侧表达式不同），需使用导数的定义式计算该点的导数。本题中，函数在$x=0$处的表达式为$0$，而$x \neq 0$时为$x^2 \sin \frac{1}{x}$，因此必须通过极限形式求导数。

破题关键点：

1. 正确应用导数定义式：$f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$。
2. 化简极限表达式：将分子中的$f(h)$代入后，约分简化。
3. 处理有界函数与无穷小的乘积：利用$\sin \frac{1}{h}$的有界性（绝对值不超过1）和$h \to 0$的无穷小性质，结合夹逼定理求极限。

根据导数的定义，计算$f'(0)$：

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

步骤1：代入函数表达式
当$h \neq 0$时，$f(h) = h^2 \sin \frac{1}{h}$，而$f(0) = 0$，因此：

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}$

步骤2：分析极限形式
注意到$\sin \frac{1}{h}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：

$\left| h \sin \frac{1}{h} \right| \leq |h|$

步骤3：应用夹逼定理
当$h \to 0$时，$|h| \to 0$，因此：

$\lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0$

综上，$f'(0) = 0$。