6/40单选题(2.5分) (单选题)求lim_(xtoinfty)(1-(1)/(x))^x =()A. (1)/(e)B. 1C. 0D. e

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是涉及自然对数和指数函数的变形技巧，以及利用泰勒展开或等价无穷小替换处理复杂表达式的能力。

解题核心思路：
将原式转化为指数函数的形式，通过取自然对数简化运算，结合泰勒展开或等价无穷小替换展开对数项，最终求出极限值。关键在于灵活运用极限与对数的连续性，将乘幂转化为线性运算。

步骤1：取自然对数简化表达式

设原式极限为$L$，即：
$L = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$
取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 - \frac{1}{x}\right)$

步骤2：泰勒展开对数项

利用泰勒展开式$\ln(1 - y) \approx -y - \frac{y^2}{2} - \cdots$（当$y \to 0$时），令$y = \frac{1}{x}$，则：
$\ln \left(1 - \frac{1}{x}\right) \approx -\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} - \cdots$
忽略高阶无穷小后，近似为：
$\ln \left(1 - \frac{1}{x}\right) \approx -\frac{1}{x}$

步骤3：计算极限

将近似式代入原极限表达式：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} (-1) = -1$

步骤4：求指数得结果

对$\ln L = -1$取指数得：
$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$