6.求极限lim_(xto0)(int_(0)^sin^(2x)xln(1+t)dt)/(sqrt[3](1+x^5)-1).

将原式重写为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x \int_{0}^{\sin^2 x} \ln(1+t) \, dt}{\sqrt[3]{1+x^5} - 1}.$
当 $x \to 0$ 时，$\sin^2 x \to 0$，利用等价无穷小 $\ln(1+t) \sim t$（$t \to 0$），得：
$\int_{0}^{\sin^2 x} \ln(1+t) \, dt \sim \int_{0}^{\sin^2 x} t \, dt = \frac{\sin^4 x}{2} \sim \frac{x^4}{2}.$
分子近似为：
$x \cdot \frac{x^4}{2} = \frac{x^5}{2}.$
分母利用泰勒展开 $\sqrt[3]{1+x^5} \sim 1 + \frac{1}{3}x^5$（$x \to 0$），得：
$\sqrt[3]{1+x^5} - 1 \sim \frac{1}{3}x^5.$
因此，原极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{2}}{\frac{1}{3}x^5} = \frac{3}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{3}{2}}$