题目

设函数(x)=ln (5x+2)，则(x)=ln (5x+2)______

设函数 $f\left(x\right)=\ln\left(5x+2\right)$ ，则 $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+4\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=$ ______

题目解答

答案

根据函数的导数的定义，有： $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+4\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ $=4\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+4\Delta x\right)-f\left(x\right)}{4\Delta x}=4f\ '\left(x\right)$

∵ $f\left(x\right)=\ln\left(5x+2\right)$

∴ $f\ '\left(x\right)=\frac{5}{5x+2}$

∴ $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+4\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{20}{5x+2}$

解析

步骤 1：理解极限表达式
$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(x+4\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$是函数$f(x)$在$x$处的导数的4倍，因为$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(x+4\Delta x)-f(x)}{4\Delta x}$是$f(x)$在$x$处的导数$f'(x)$的定义。

步骤 2：计算$f(x)$的导数
$f(x)=\ln (5x+2)$，根据链式法则，$f'(x)=\dfrac {1}{5x+2}\cdot 5=\dfrac {5}{5x+2}$。

步骤 3：计算极限表达式的值
根据步骤1和步骤2，$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(x+4\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=4f'(x)=4\cdot \dfrac {5}{5x+2}=\dfrac {20}{5x+2}$。