题目
5.填空题设P(A)=0.5,P(B)=0.6,当P(B mid A)=_时，P(AB)可以取得最大值.
5.填空题
设P(A)=0.5,P(B)=0.6,当$P(B \mid A)=\_$时，P(AB)可以取得最大值.
题目解答
答案
为了确定使 $ P(AB) $ 最大的 $ P(B \mid A) $ 的值，我们从条件概率的定义开始。条件概率 $ P(B \mid A) $ 定义为：
\[ P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \]
已知 $ P(A) = 0.5 $，我们可以将 $ P(AB) $ 表达为 $ P(B \mid A) $ 的函数：
\[ P(AB) = P(B \mid A) \cdot P(A) = P(B \mid A) \cdot 0.5 \]
为了使 $ P(AB) $ 最大，我们需要使 $ P(B \mid A) $ 最大。条件概率 $ P(B \mid A) $ 的最大值为1，因为概率的最大值为1。因此，$ P(B \mid A) $ 的最大值为1。
当 $ P(B \mid A) = 1 $ 时，我们有：
\[ P(AB) = 1 \cdot 0.5 = 0.5 \]
为了验证这是可能的，我们注意到如果 $ P(B \mid A) = 1 $，则 $ A \subseteq B $。在这种情况下，$ P(AB) = P(A) = 0.5 $，这小于或等于 $ P(B) = 0.6 $，因此是可能的。
因此，使 $ P(AB) $ 最大的 $ P(B \mid A) $ 的值为：
\[ \boxed{1} \]
解析
考查要点：本题主要考查条件概率的定义及概率的极值问题，需要理解条件概率与事件间关系的联系。
解题核心思路：
- 条件概率公式：利用公式 $P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，将 $P(AB)$ 表示为 $P(B \mid A)$ 的函数。
- 极值分析：通过分析 $P(B \mid A)$ 的取值范围，确定其最大值对应的条件。
- 验证可行性：确保当 $P(B \mid A)$ 取得最大值时，概率分布仍满足题目给定的 $P(B) = 0.6$。
破题关键点：
- 条件概率的上限：概率值最大为 $1$，因此 $P(B \mid A)$ 的最大可能值为 $1$。
- 事件包含关系：当 $P(B \mid A) = 1$ 时，$A$ 是 $B$ 的子事件，此时 $P(AB) = P(A)$，需验证是否与 $P(B) = 0.6$ 一致。
根据条件概率公式：
$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
变形得：
$P(AB) = P(B \mid A) \cdot P(A)$
已知 $P(A) = 0.5$，代入得：
$P(AB) = 0.5 \cdot P(B \mid A)$
关键分析：
- 最大化目标：要使 $P(AB)$ 最大，需使 $P(B \mid A)$ 最大。
- 概率的约束：$P(B \mid A)$ 的最大值为 $1$（概率不超过 $1$）。
- 可行性验证：
- 当 $P(B \mid A) = 1$ 时，$A \subseteq B$，此时 $P(AB) = P(A) = 0.5$。
- 由于 $P(B) = 0.6 \geq 0.5$，说明 $B$ 中存在部分区域不与 $A$ 重叠，符合题意。
因此，当 $P(B \mid A) = 1$ 时，$P(AB)$ 取得最大值 $0.5$。