函数 z=-sqrt(x^2+y^2) 在点 (0,0) 处()A. 有极小值B. 没有极值C. 不能判定D. 有极大值

本题考查二元函数极值的判定。解题思路是先明确函数极值的定义，再根据函数的表达式分析在点$(0,0)$处的取值情况与周围点取值情况的关系，从而判断该点是否为极值点以及是极大值点还是极小值点。

1. 首先明确函数$z = -\sqrt{x^2 + y^2}$的定义域为$R^2$，即整个$xOy$平面。
2. 然后计算函数在点$(0,0)$处的函数值：
   • 将$x = 0$，$y = 0$代入函数$z = -\sqrt{x^2 + y^2}$中，可得$z(0,0)=-\sqrt{0^2 + 0^2}=0$。
3. 接着分析点$(0,0)$周围任意点$(x,y)$（$(x,y)\neq(0,0)$）的函数值情况：
   • 对于任意的$(x,y)\neq(0,0)$，因为$x^2 + y^2>0$，那么$\sqrt{x^2 + y^2}>0$。
   • 而函数$z = -\sqrt{x^2 + y^2}$，所以$z(x,y)=-\sqrt{x^2 + y^2}<0$。
4. 最后根据极值的定义进行判断：
   • 对于函数$z = f(x,y)$，如果在点$(x_0,y_0)$的某邻域内，对于任意的$(x,y)$（$(x,y)\neq(x_0,y_0)$），都有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处有极大值$f(x_0,y_0)$。
   • 由前面的计算可知，在点$(0,0)$的某邻域内（实际上是整个定义域内），对于任意的$(x,y)\neq(0,0)$，都有$z(x,y)<z(0,0)$，所以函数$z = -\sqrt{x^2 + y^2}$在点$(0,0)$处有极大值。