两个四维列向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 与 beta_1, beta_2, beta_3，若 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性无关，则 beta_1, beta_2, beta_3 线性无关的充分必要条件为(). A 向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 可由向量组 beta_1, beta_2, beta_3 线性表示. B 向量组 beta_1, beta_2, beta_3 可由向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性表示. C 向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 与向量组 beta_1, beta_2, beta_3 等价. D 矩阵 A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3) 与矩阵 B = (beta_1, beta_2, beta_3) 等价.

为了确定向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关的充分必要条件，我们需要分析给定的选项。让我们从理解线性无关和等价向量组的定义和性质开始。 ### 定义和性质 1. **线性无关**：向量组 $ v_1, v_2, \ldots, v_n $ 线性无关，如果方程 $ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0 $ 的唯一解是 $ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 $。 2. **向量组的等价**：两个向量组等价，如果每个向量组中的向量都可以表示为另一个向量组中向量的线性组合。 3. **矩阵的等价**：两个矩阵等价，如果一个可以通过初等行和列操作从另一个得到。 ### 分析选项 #### 选项 A：向量组 $ a_1, a_2, a_3 $ 可由向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性表示。 如果 $ a_1, a_2, a_3 $ 可以由 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性表示，那么存在一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵 $ C $ 使得 $ (a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3)C $。由于 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性无关，矩阵 $ (a_1, a_2, a_3) $ 的秩为 3。为了使等式成立，矩阵 $ (b_1, b_2, b_3) $ 的秩也必须为 3，这意味着 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关。然而，这个条件不是必要的，因为 $ b_1, b_2, b_3 $ 可以线性无关，而 $ a_1, a_2, a_3 $ 无法由 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性表示。因此，这个选项是充分但不必要。 #### 选项 B：向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 可由向量组 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表示。 如果 $ b_1, b_2, b_3 $ 可以由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表示，那么存在一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵 $ D $ 使得 $ (b_1, b_2, b_3) = (a_1, a_2, a_3)D $。由于 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性无关，矩阵 $ (a_1, a_2, a_3) $ 的秩为 3。为了使 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关，矩阵 $ D $ 的秩也必须为 3，这意味着 $ D $ 是可逆的。因此，这个条件是必要但不充分，因为 $ b_1, b_2, b_3 $ 可以线性相关，而仍然可以由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表示。 #### 选项 C：向量组 $ a_1, a_2, a_3 $ 与向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 等价。 如果向量组 $ a_1, a_2, a_3 $ 与向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 等价，那么每个向量组中的向量都可以表示为另一个向量组中向量的线性组合。这意味着 $ a_1, a_2, a_3 $ 可以由 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性表示，而 $ b_1, b_2, b_3 $ 可以由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表示。从前面的分析中，我们知道这两个条件一起是 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关的充分必要条件。因此，这个选项是正确的。 #### 选项 D：矩阵 $ A = (a_1, a_2, a_3) $ 与矩阵 $ B = (b_1, b_2, b_3) $ 等价。 如果矩阵 $ A $ 与矩阵 $ B $ 等价，那么 $ B $ 可以通过初等行和列操作从 $ A $ 得到。由于初等行和列操作不改变矩阵的秩，而矩阵 $ A $ 的秩为 3（因为 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性无关），矩阵 $ B $ 的秩也必须为 3，这意味着 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关。然而，这个条件不是必要的，因为 $ b_1, b_2, b_3 $ 可以线性无关，而矩阵 $ B $ 无法通过初等行和列操作从 $ A $ 得到。因此，这个选项是充分但不必要。 ### 结论 向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 线性无关的充分必要条件是向量组 $ a_1, a_2, a_3 $ 与向量组 $ b_1, b_2, b_3 $ 等价。 答案是 $\boxed{C}$。