题目
记Sn为数列(an)的前n项和，bn为数列(Sn)的前n项积，已知(2)/((S)_{n)}+(1)/((b)_{n)}=2．（1）证明：数列(bn)是等差数列；（2）求(an)的通项公式．
记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
题目解答
答案
解：（1）证明：当n=1时，b1=S1，
由$\frac{2}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2，解得b1=$\frac{3}{2}$，
当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=Sn，代入$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，
消去Sn，可得$\frac{2\;{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，所以bn-bn-1=$\frac{1}{2}$，
所以{bn}是以$\frac{3}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．
（2）由题意，得a1=S1=b1=$\frac{3}{2}$，
由（1），可得bn=$\frac{3}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n+2}{2}$，
由$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，可得Sn=$\frac{n+2}{n+1}$，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{\;n+2}{n+1}$-$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$，显然a1不满足该式，
所以an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，}&{n=1}\\{-\frac{1}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
由$\frac{2}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2，解得b1=$\frac{3}{2}$，
当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=Sn，代入$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，
消去Sn，可得$\frac{2\;{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，所以bn-bn-1=$\frac{1}{2}$，
所以{bn}是以$\frac{3}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．
（2）由题意，得a1=S1=b1=$\frac{3}{2}$，
由（1），可得bn=$\frac{3}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n+2}{2}$，
由$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，可得Sn=$\frac{n+2}{n+1}$，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{\;n+2}{n+1}$-$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$，显然a1不满足该式，
所以an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，}&{n=1}\\{-\frac{1}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
解析
步骤 1：证明{b_n}是等差数列
首先，当n=1时，b_1=S_1，由$\frac{2}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2，解得b_1=$\frac{3}{2}$。
然后，当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=S_n，代入$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，消去S_n，可得$\frac{2\;{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，所以b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，因此{b_n}是以$\frac{3}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列。
步骤 2：求{a_n}的通项公式
由题意，得a_1=S_1=b_1=$\frac{3}{2}$。
由（1），可得b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n+2}{2}$。
由$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，可得S_n=$\frac{n+2}{n+1}$。
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{\;n+2}{n+1}$-$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$，显然a_1不满足该式。
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，}&{n=1}\\{-\frac{1}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$。
首先，当n=1时，b_1=S_1，由$\frac{2}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2，解得b_1=$\frac{3}{2}$。
然后，当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=S_n，代入$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，消去S_n，可得$\frac{2\;{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，所以b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，因此{b_n}是以$\frac{3}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列。
步骤 2：求{a_n}的通项公式
由题意，得a_1=S_1=b_1=$\frac{3}{2}$。
由（1），可得b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n+2}{2}$。
由$\frac{2}{{S}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，可得S_n=$\frac{n+2}{n+1}$。
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{\;n+2}{n+1}$-$\frac{n+1}{n}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$，显然a_1不满足该式。
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，}&{n=1}\\{-\frac{1}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$。