(1)设函数 (x)=dfrac (ln |x|)(|x-1|)sin x, 则 f(x)有 ()-|||-(A)1个可去间断点,1 个跳跃间断点 (B)1个可去间断点,1个无穷间断点-|||-(C)2个跳跃间断点 (D)2个无穷间断点

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断，涉及分段函数、绝对值函数、对数函数及三角函数的组合形式，需综合运用极限、洛必达法则等知识。

解题核心思路：

1. 确定间断点位置：找出函数各组成部分的不连续点，即分母为零、对数函数无定义的点。
2. 分类讨论间断点类型：
   • 可去间断点：左右极限存在且相等，但函数值不存在或不等于极限。
   • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
   • 无穷间断点：函数在某点附近趋向无穷大。

破题关键点：

• x=0处：分母|x-1|在x=0处值为1，但ln|x|在x=0处无定义，需计算极限判断类型。
• x=1处：分母|x-1|为零，需用洛必达法则求极限，注意左右极限的差异。

间断点定位

函数$f(x)=\dfrac{\ln |x|}{|x-1|}\sin x$的间断点可能出现在：

1. x=0：$\ln |x|$无定义。
2. x=1：分母$|x-1|=0$。

x=0处的分析

当$x \to 0$时：

• $\ln |x| \to -\infty$，但$|x-1| \to 1$，故$\dfrac{\ln |x|}{|x-1|} \to -\infty$。
• $\sin x \approx x$（等价无穷小），故$f(x) \approx x \ln |x|$。
• 计算极限$\lim_{x \to 0} x \ln |x|$：
  • 当$x \to 0^+$时，$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$（洛必达法则）。
  • 当$x \to 0^-$时，$\lim_{x \to 0^-} x \ln |x| = \lim_{x \to 0^-} x \ln (-x) = 0$。
• 结论：左右极限均为0，但$f(0)$无定义，故x=0为可去间断点。

x=1处的分析

当$x \to 1$时：

• 分子$\ln |x| \to 0$，分母$|x-1| \to 0$，需用洛必达法则：
  • 右极限（$x \to 1^+$）：
    $\lim_{x \to 1^+} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = 1.$
  • 左极限（$x \to 1^-$）：
    $\lim_{x \to 1^-} \frac{\ln x}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{-1} = -1.$
• 乘以$\sin x$（在$x=1$附近连续）后，右极限为$\sin 1$，左极限为$-\sin 1$。
• 结论：左右极限存在但不相等，故x=1为跳跃间断点。