=(int )_(-1)^1(f(x)+f(-x)+x} cdot ln (sqrt (1+{x)^2}+x)dx.

步骤 1：定义函数F(x)和f(x)
令F(x)=f(x)+f(-x)，则F(-x)=f(-x)+f(x)。由于F(x)=F(-x)，所以F(x)为偶函数。
令f(x)=$\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)$，则f(-x)=$\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$=$\ln \dfrac {1}{\sqrt {1+{x}^{2}}+x}$=$-\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)$=-f(x)。因此，f(x)为奇函数。
步骤 2：计算积分
由于F(x)为偶函数，f(x)为奇函数，所以${\int }_{-1}^{1}[ f(x)+f(-x)] \cdot \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx=0$。
原式变为${\int }_{-1}^{1}[ f(x)+f(-\infty )] m(\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx+{\int }_{-1}^{1}\sin (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx$=0+${\int }_{-1}^{1}x\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx$。
步骤 3：简化积分
${\int }_{-1}^{1}x\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx$=$2{\int }_{0}^{1}x\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx$=$2{\int }_{0}^{1}(x\ln \sqrt {1+{x}^{2}}+x)dx$=${\int }_{-1}^{1}(x\ln \sqrt {1+{x}^{2}})dx+2{\int }_{0}^{1}x\ln xdx$。
令g（x）=$x\ln \sqrt {1+{x}^{2}}$，则g(-x)=$-x\ln \sqrt {1+{x}^{2}}$。由于g(x)+g(-x)=0，所以g（x）为奇函数。因此，${\int }_{-1}^{1}(x\ln \sqrt {1+{x}^{2}})dx=0$。
步骤 4：计算最终积分
原式=2${\int }_{0}^{1}x\ln xdx$=$2\cdot \dfrac {1}{2}{x}^{2}\ln x-\dfrac {1}{4}{x}^{2}{l}_{0}^{1}$=$-\dfrac {1}{2}$。