题目

(6) (e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0;

(6) $(e^{x+y}-e^{x})dx+(e^{x+y}+e^{y})dy=0;$

题目解答

答案

为了解微分方程 $(e^{x+y}-e^x)dx+(e^{x+y}+e^y)dy=0$，我们将遵循以下步骤： 1. **识别 $M$ 和 $N$:** 设 $M(x, y) = e^{x+y} - e^x$ 和 $N(x, y) = e^{x+y} + e^y$。 2. **检查方程是否为全微分方程:** 一个微分方程 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 是全微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。 计算 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial N}{\partial x}$： \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} - e^x) = e^{x+y}, \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y} + e^y) = e^{x+y}. \] 由于 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，方程是全微分方程。 3. **找到势函数 $F(x, y)$:** 势函数 $F(x, y)$ 满足 $\frac{\partial F}{\partial x} = M$ 和 $\frac{\partial F}{\partial y} = N$。从 $\frac{\partial F}{\partial x} = e^{x+y} - e^x$ 开始，对 $x$ 积分： \[ F(x, y) = \int (e^{x+y} - e^x) \, dx = e^{x+y} - e^x + g(y), \] 其中 $g(y)$ 是 $y$ 的函数。 4. **确定 $g(y)$:** 对 $F(x, y)$ 关于 $y$ 求导，并将其等于 $N$： \[ \frac{\partial F}{\partial y} = e^{x+y} + g'(y). \] 由于 $\frac{\partial F}{\partial y} = e^{x+y} + e^y$，我们有： \[ e^{x+y} + g'(y) = e^{x+y} + e^y. \] 简化后得到： \[ g'(y) = e^y. \] 对 $y$ 积分： \[ g(y) = \int e^y \, dy = e^y. \] 5. **写出势函数 $F(x, y)$:** 将 $g(y)$ 代回 $F(x, y)$ 的表达式中： \[ F(x, y) = e^{x+y} - e^x + e^y. \] 6. **解方程 $F(x, y) = C$:** 微分方程的解由： \[ e^{x+y} - e^x + e^y = C, \] 给出，其中 $C$ 是常数。 因此，解为： \[ \boxed{e^{x+y} - e^x + e^y = C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查全微分方程的解法，需要学生掌握判断方程是否为全微分方程的方法，并能够通过构造势函数求解微分方程。

解题核心思路：

  1. 识别全微分方程：验证$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，若成立则方程为全微分方程。
  2. 构造势函数：通过分别对$M$和$N$积分，并结合积分常数确定势函数$F(x, y)$。
  3. 求解方程：令势函数$F(x, y) = C$，得到微分方程的通解。

破题关键点：

  • 正确计算偏导数：确保$\frac{\partial M}{\partial y}$和$\frac{\partial N}{\partial x}$的计算无误。
  • 积分时处理好常数项：对$x$积分后引入的$g(y)$需通过后续步骤确定。

步骤1：验证全微分方程条件

设$M(x, y) = e^{x+y} - e^x$，$N(x, y) = e^{x+y} + e^y$，计算偏导数：
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} - e^x) = e^{x+y},$
$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y} + e^y) = e^{x+y}.$
由于$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，方程为全微分方程。

步骤2：构造势函数$F(x, y)$

  1. 对$M$关于$x$积分：
    $F(x, y) = \int (e^{x+y} - e^x) \, dx = e^{x+y} - e^x + g(y),$
    其中$g(y)$为关于$y$的函数。

  2. 对$F$关于$y$求导并等于$N$：
    $\frac{\partial F}{\partial y} = e^{x+y} + g'(y) = e^{x+y} + e^y.$
    比较得：
    $g'(y) = e^y \implies g(y) = \int e^y \, dy = e^y.$

步骤3：写出势函数并求解

将$g(y) = e^y$代入$F(x, y)$：
$F(x, y) = e^{x+y} - e^x + e^y.$
令$F(x, y) = C$，得通解：
$e^{x+y} - e^x + e^y = C.$